Calcule as seguintes integrais:
\int \operatorname{Tang}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função denominada \operatorname{Tang}(x). Vou interpretar \operatorname{Tang}(x) como a função tangente, isto é \tan(x).
Informações dadas: a função a integrar é \tan(x) e a variável de integração é x. O objetivo é encontrar uma antiderivada (a primitiva) de \tan(x), ou seja, uma fórmula F(x) tal que F'(x)=\tan(x).

Passo 2

Reescrevemos a tangente em termos de seno e cosseno, pois isso costuma facilitar integrais envolvendo \tan(x). A identidade é
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.
Portanto a integral fica
\int \tan(x)\,dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx.
Explicação didática: isso é útil porque o numerador \sin(x) é (menos) a derivada do denominador \cos(x); isso sugere uma substituição do tipo u=\cos(x).

Passo 3

Fazemos a substituição sugerida. Definimos
u=\cos(x).
Agora calculamos o diferencial du. Sabemos que a derivada de \cos(x) em relação a x é -\sin(x), então
du = -\sin(x)\,dx.
Isolando \sin(x)\,dx obtemos
\sin(x)\,dx = -du.
Substituindo na integral original:
\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{du}{u}.

Passo 4

Agora usamos uma fórmula básica de integração: a antiderivada de 1/u é \ln|u|. Mais precisamente,
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C,
onde o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural só aceita argumentos positivos, e u pode ser negativo. Aplicando isso:
-\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C.

Passo 5

Voltamos à variável x usando u=\cos(x). Assim obtemos a primitiva:
-\ln|\cos(x)| + C.
Observação útil: essa forma é equivalente a outra forma muito usada, porque
-\ln|\cos(x)| = \ln\!\left|\frac{1}{\cos(x)}\right| = \ln|\operatorname{sec}(x)|.
Portanto uma forma alternativa da resposta é \ln|\operatorname{sec}(x)| + C. Ambas são corretas e diferem apenas por uma constante (na verdade coincidem exatamente).

Passo 6

Verificação (importante para a prova): derivando a resposta vemos que volta a dar \tan(x). Derivada de -\ln|\cos(x)|:
\frac{d}{dx}\bigl(-\ln|\cos(x)|\bigr) = -\frac{1}{\cos(x)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr) = -\frac{1}{\cos(x)}\cdot(-\sin(x)) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x).
Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle -\ln|\cos(x)| + C
\displaystyle \ln|\operatorname{sec}(x)| + C

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