Calcule as seguintes integrais: \int \operatorname{Tang}(x) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função denominada \operatorname{Tang}(x). Vou interpretar \operatorname{Tang}(x) como a função tangente, isto é \tan(x).
Informações dadas: a função a integrar é \tan(x) e a variável de integração é x. O objetivo é encontrar uma antiderivada (a primitiva) de \tan(x), ou seja, uma fórmula F(x) tal que F'(x)=\tan(x).
Passo 2
Reescrevemos a tangente em termos de seno e cosseno, pois isso costuma facilitar integrais envolvendo \tan(x). A identidade é
Explicação didática: isso é útil porque o numerador \sin(x) é (menos) a derivada do denominador \cos(x); isso sugere uma substituição do tipo u=\cos(x).
Passo 3
Fazemos a substituição sugerida. Definimos
u=\cos(x).
Agora calculamos o diferencial du. Sabemos que a derivada de \cos(x) em relação a x é -\sin(x), então
Portanto uma forma alternativa da resposta é \ln|\operatorname{sec}(x)| + C. Ambas são corretas e diferem apenas por uma constante (na verdade coincidem exatamente).
Passo 6
Verificação (importante para a prova): derivando a resposta vemos que volta a dar \tan(x). Derivada de -\ln|\cos(x)|: