Uma tubulação tem os diâmetros dos bocais de entrada e de saída iguais a 1,4 cm e 1,0 cm, respectivamente. A água flui por esse tubo numa vazão igual a 0,5 L/s. Considerando que o bocal de saída está a 10 m acima do bocal de entrada e que a pressão na saída é igual a 100 kPa , calcule:
a pressão necessária na entrada do tudo para fazer a água fluir sob essas condições.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tubulação com diâmetros diferentes na entrada e na saída, onde a água está fluindo a uma certa vazão. Além disso, a saída está mais alta que a entrada, e sabemos a pressão na saída. Nosso objetivo é descobrir qual a pressão que a gente precisa ter na entrada para que a água flua nessas condições.
Matéria envolvida: Mecânica dos Fluidos, mais especificamente, Equação de Continuidade e Equação de Bernoulli.
O que vamos precisar:
  • Equação de Continuidade: Para relacionar as velocidades e áreas nos dois bocais.
  • Equação de Bernoulli: Para relacionar as pressões, velocidades e alturas nos dois pontos.
  • Fórmulas matemáticas para calcular áreas e converter unidades quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a vazão de litros por segundo para metros cúbicos por segundo, porque as unidades padrão do SI são mais convenientes para nossos cálculos.
Sabemos que:
1 , L = 0,001 , m^3
Portanto:
Q = 0,5 , L/s = 0,5 times 0,001 = 0,0005 , m^3/s

Passo 3

Agora, vamos usar a Equação de Continuidade, que diz que a vazão é igual em qualquer ponto do fluido. A equação é:
Q = A1 times v1 = A2 times v2
Onde:
  • $ A $ é a área da seção transversal.
  • $ v $ é a velocidade do fluido.
Vamos calcular as áreas dos bocais de entrada e saída usando a fórmula da área do círculo:
A
Para o bocal de entrada ($ d_1 = 1,4 , cm = 0,014 , m $):
v
Para o bocal de saída ($ d_2 = 1,0 , cm = 0,010 , m $):
A = pi times (d2)^2

Passo 4

Com as áreas calculadas, vamos encontrar as velocidades na entrada ($ v_1 v1 í v_2 $) usando a Equação de Continuidade:
v2
v1 = QA1 = 0,00051,539 times 10^-4 approx 3,25 , m/s

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Equação de Bernoulli entre a entrada e a saída da tubulação. A equação é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • $ P $ é a pressão.
  • $ \rho $ é a densidade da água ($ \approx 1000 , kg/m^3 $).
  • $ v $ é a velocidade do fluido.
  • $ g $ é a aceleração devido à gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $).
  • $ h $ é a altura.
Como a entrada está a uma altura $ h_1 = 0 $ (referência) e a saída a $ h_2 = 10 , m $, podemos reorganizar a equação para encontrar $ P_1 $:
P

Passo 6

Vamos substituir os valores na equação:
  • $ P_2 = 100 , kPa = 100000 , Pa $
  • $ v_1 = 3,25 , m/s $
  • $ v_2 = 6,37 , m/s $
  • $ h_2 = 10 , m $
  • $ \rho = 1000 , kg/m^3 $
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $
Calculando cada termo:
P2 = 100 , kPa = 100000 , Pa
v1 = 3,25 , m/s
v2 = 6,37 , m/s
Agora, somando tudo:
h2 = 10 , m
rho = 1000 , kg/m^3
g = 9,81 , m/s^2
12 rho v2^2 = 12 times 1000 times (6,37)^2 approx 20317 , Pa

Resposta

A pressão necessária na entrada da tubulação para que a água flua nas condições descritas é de aproximadamente 213,1 kPa.

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