Uma tubulação tem os diâmetros dos bocais de entrada e de saída iguais a
e
, respectivamente. A água flui por esse tubo numa vazão igual a
. Considerando que o bocal de saída está a 10 m acima do bocal de entrada e que a pressão na saída é igual a 100 kPa , calcule:
a pressão necessária na entrada do tudo para fazer a água fluir sob essas condições.
a pressão necessária na entrada do tudo para fazer a água fluir sob essas condições.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tubulação com diâmetros diferentes na entrada e na saída, onde a água está fluindo a uma certa vazão. Além disso, a saída está mais alta que a entrada, e sabemos a pressão na saída. Nosso objetivo é descobrir qual a pressão que a gente precisa ter na entrada para que a água flua nessas condições.
Matéria envolvida: Mecânica dos Fluidos, mais especificamente, Equação de Continuidade e Equação de Bernoulli.
O que vamos precisar:
- Equação de Continuidade: Para relacionar as velocidades e áreas nos dois bocais.
- Equação de Bernoulli: Para relacionar as pressões, velocidades e alturas nos dois pontos.
- Fórmulas matemáticas para calcular áreas e converter unidades quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a vazão de litros por segundo para metros cúbicos por segundo, porque as unidades padrão do SI são mais convenientes para nossos cálculos.
Sabemos que:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos usar a Equação de Continuidade, que diz que a vazão é igual em qualquer ponto do fluido. A equação é:
Onde:
- $ A $ é a área da seção transversal.
- $ v $ é a velocidade do fluido.
Vamos calcular as áreas dos bocais de entrada e saída usando a fórmula da área do círculo:
Para o bocal de entrada ($ d_1 = 1,4 , cm = 0,014 , m $):
Para o bocal de saída ($ d_2 = 1,0 , cm = 0,010 , m $):
Passo 4
Com as áreas calculadas, vamos encontrar as velocidades na entrada ($ v_1
v_2 $) usando a Equação de Continuidade:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Equação de Bernoulli entre a entrada e a saída da tubulação. A equação é:
Onde:
- $ P $ é a pressão.
- $ \rho $ é a densidade da água ($ \approx 1000 , kg/m^3 $).
- $ v $ é a velocidade do fluido.
- $ g $ é a aceleração devido à gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $).
- $ h $ é a altura.
Como a entrada está a uma altura $ h_1 = 0 $ (referência) e a saída a $ h_2 = 10 , m $, podemos reorganizar a equação para encontrar $ P_1 $:
Passo 6
Vamos substituir os valores na equação:
- $ P_2 = 100 , kPa = 100000 , Pa $
- $ v_1 = 3,25 , m/s $
- $ v_2 = 6,37 , m/s $
- $ h_2 = 10 , m $
- $ \rho = 1000 , kg/m^3 $
- $ g = 9,81 , m/s^2 $
Calculando cada termo:
Agora, somando tudo:
Resposta
A pressão necessária na entrada da tubulação para que a água flua nas condições descritas é de aproximadamente 213,1 kPa.