Uma tubulação de vapor é envolvida por uma camada de isolante térmico cujos raios interno e externo são ri e re, respectivamente. Em um dado instante do tempo, a distribuição de temperatura no isolamento tem a forma
T(r)=C1 ln (rro)+C2
O sistema encontra-se em regime estacionário ou transiente? Como variam o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor em função do raio?

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão diz: a gente tem um tubo de vapor com isolante térmico, cujo raio interno é T(r)=C1 ln!l(tfracrr0r)+C2 e raio externo é . Num certo instante, a temperatura no isolante é
O que ela pergunta?
  1. Se o sistema está em regime estacionário ou transiente.
  2. Como o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor variam com o raio .
Conteúdo envolvido: condução de calor em coordenadas cilíndricas, regime estacionário vs. transiente, Lei de Fourier.
O que vamos precisar:
  • Verificar se depende de tempo (pra regime).
  • Aplicar a Lei de Fourier radial: .
  • Calcular a área de superfície cilíndrica (ou considerar comprimento unitário).

Passo 2

Primeiro, regime estacionário ou transiente?
  • Teoria: num regime estacionário a temperatura de cada ponto não muda no tempo ( ).
  • Aqui não tem , só .
    Logo, ⇒ regime estacionário.

Passo 3

Agora, o fluxo de calor radial qr(r) ;=;-k,dTdr, .
  • Teoria: Lei de Fourier em 1D radial cilíndrico diz
T(r)=C1ln!l(tfracrr0r)+C2 Longrightarrow dTdr = C1;1r
onde qr(r) =-k;C1r =;-,k,C1r é condutividade térmica e tem sinais (negativo quando o calor vai de quente para frio).
  • Calculemos :
  • Então
Percebe que o fluxo varia como : conforme você se afasta (r aumenta), cai.

Passo 4

Por fim, a taxa total de transferência de calor dot Q = l(-k,C1rr)times (2pi r L) = -2pi,k,C1,L através de uma casca cilíndrica de raio .
  • Teoria: , onde a área lateral de um cilindro de comprimento é .
  • Então
Repara que o cancela! A taxa é constante no isolante: independe de .

Resposta

Regime: estacionário.
Fluxo de calor radial:
qr(r) = -k,C1r
Taxa de transferência de calor (para comprimento dot Q = -2pi,k,C1,L, ):
isto é, independente do raio .

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