Uma espera oca, com raio interno e raio externo , possui temperatura superficiais e , respectivamente, onde . Esboce a distribuição de temperatura em um sistema de coordenadas , considerando a condução unidimensional em regime estacionário com propriedades constantes. Justifique resumidamente a forma da curva encontrada.
Passo 1
Beleza, temos uma casca cilíndrica oca (espessura entre e ), com temperatura interna e externa (). É condução unidimensional em regime estacionário com condutividade térmica constante. Nosso objetivo é esboçar em função de e entender por que a curva tem aquele formato.
Passo 2
Primeiro, lembra da lei de Fourier para condução radial em cilindro cilíndrico:
onde é o fluxo de calor (constante no regime estacionário), a condutividade, e a área de condução ( é o comprimento do cilindro).
Como o sistema está em regime estacionário sem geração interna, não depende de . Substituindo :
Isolamos a derivada:
Passo 3
Agora integramos em . Seja a constante de integração:
Essa expressão significa que a temperatura varia logaritmicamente com o raio.
Passo 4
Vamos achar e usando as condições de contorno:
Da expressão geral , avaliamos em e :
Subtraindo as duas equações elimina :
Logo
Voltando em , podemos escrever de modo mais direto:
Passo 5
Esboço de vs.\ :
Em , .
Em , .
A forma é uma linha reta em escala log, mas num gráfico contra normal ela aparece decrescente, começando mais íngreme perto de e “achatando” conforme cresce. Isso acontece porque a área de condução aumenta com , então a taxa de variação em módulo vai diminuindo.
Resposta
A distribuição de temperatura ao longo do raio é
boxed% T(r)=T1 + (T2 - T1),ln(r/r1)ln(r2/r1),
que, em um gráfico vs.\ , aparece como uma curva decrescente, mais inclinada em e se tornando mais plana em direção a .