Uma espera oca, com raio interno r1 e raio externo r2, possui temperatura superficiais T1 e T2, respectivamente, onde T1>T2. Esboce a distribuição de temperatura em um sistema de coordenadas T-r, considerando a condução unidimensional em regime estacionário com propriedades constantes. Justifique resumidamente a forma da curva encontrada.

Passo 1

Beleza, temos uma casca cilíndrica oca (espessura entre e ), com temperatura interna e externa ( ). É condução unidimensional em regime estacionário com condutividade térmica constante. Nosso objetivo é esboçar em função de e entender por que a curva tem aquele formato.

Passo 2

Primeiro, lembra da lei de Fourier para condução radial em cilindro cilíndrico:
qr = -k,A(r),dTdr,
onde qr = -k,(2pi L,r),dTdr = constante é o fluxo de calor (constante no regime estacionário), dTdr = -qr2pi L,k;1r a condutividade, e a área de condução ( é o comprimento do cilindro).
Como o sistema está em regime estacionário sem geração interna, não depende de . Substituindo :
Isolamos a derivada:

Passo 3

Agora integramos em integral dT = -qr2pi L,kintegral drr Longrightarrow T(r) = -qr2pi L,k,ln r + C . Seja a constante de integração:
Essa expressão significa que a temperatura varia logaritmicamente com o raio.

Passo 4

Vamos achar T1 = -dfracqr2pi L kln r1 + C, T2 = -dfracqr2pi L kln r2 + C e T2 - T1 = -qr2pi L k(ln r2 - ln r1) = -qr2pi L kln!l(r2r1r) usando as condições de contorno:
  1. qr = 2pi L k,(T1 - T2)ln(r2/r1)
  2. T(r) = T1 + (T2 - T1);ln(r/r1)ln(r2/r1)
Da expressão geral , avaliamos em e :
Subtraindo as duas equações elimina :
Logo
Voltando em , podemos escrever de modo mais direto:

Passo 5

Esboço de vs.\ :
  • Em , .
  • Em , .
  • A forma é uma linha reta em escala log, mas num gráfico contra normal ela aparece decrescente, começando mais íngreme perto de e “achatando” conforme cresce. Isso acontece porque a área de condução aumenta com , então a taxa de variação em módulo vai diminuindo.

Resposta

A distribuição de temperatura ao longo do raio é
boxed% T(r)=T1 + (T2 - T1),ln(r/r1)ln(r2/r1),
que, em um gráfico vs.\ , aparece como uma curva decrescente, mais inclinada em e se tornando mais plana em direção a .

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