A distribuição de temperatura através de uma parede de 0,3 m de espessura em um dado instante do tempo é dada por T(x)=a+bx+cx^2, em que T está em ^circC e x está em metros, a=200^circC, b=-200^circC/m e c=30^circC/m ^2. A condutividade térmica da parede é de 1 W/m K.
(a) Determine a taxa de transferência de calor que entra e sai da parede e a taxa de variação da energia armazenada no interior da parede por unidade de área superficial.
(b) Se a superfície fria está exposta a um fluido a 100 ^circC, qual o coeficiente de convecção?

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício tá pedindo: ele te dá a distribuição de temperatura na parede de espessura T(x) = a + b,x + c,x^2, m como
com , e (unidades em °C e metros). A condutividade térmica é W/m K.
Conteúdo: condução de calor unidimensional e balanço de energia (parte que entra menos parte que sai igual variação de energia interna), mais convecção na face fria. Vamos precisar:
  • Derivar para entrar na Lei de Fourier ( ).
  • Calcular o fluxo em (entrada) e em (saída).
  • Fazer o balanço de energia para achar a taxa de armazenamento.
  • Aplicar a lei de convecção ( í) para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente de temperatura:
dTdx = b + 2,c,x
Pela Lei de Fourier, o fluxo de calor em qualquer ponto é
qx(x) = -,k,dTdx
Em dTdx|0 = b + 2ccdot 0 = b = -200Rightarrow qx(0) = -1 times (-200) = +200;W/m^2 :
Isso quer dizer que entram W/m² na face quente.

Passo 3

Agora, na face fria ( dTdx|0,3 = b + 2c,(0,3) = -200 + 2cdot 30cdot 0,3 = -200 + 18 = -182, m):
qx(0,3) = -1 times (-182) = +182;W/m^2
logo
Esse valor positivo indica calor saindo pela face fria numa taxa de W/m².

Passo 4

Pra achar a variação de energia armazenada por unidade de área, usamos o balanço unidimensional:
dot Earmazenada = qentrada - qsaída = 200 - 182 = 18;W/m^2 í
Ou seja, a parede tá “guardando” energia a W/m² nesse instante.

Passo 5

Falta o coeficiente de convecção T(0,3) = 200 - 200cdot 0,3 + 30,(0,3)^2 = 200 - 60 + 2,7 = 142,7;^circ C na face fria:
  1. Calcula a temperatura na superfície fria:
qconv = h,l(Tsuperfície - Tinftyr)
  1. A lei de convecção diz
h = qconvT(0,3) - 100 = 182142,7 - 100 = 18242,7 approx 4,26;W/(m^2,K) í
O fluido tá a e W/m², então

Resposta

Taxa de calor entrando: 200 W/m²
Taxa de calor saindo: 182 W/m²
Variação de energia armazenada: 18 W/m²
Coeficiente de convecção na face fria: W/(m²·K)

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