Um túnel de vento de laboratório tem seção transversal quadrada, com 305 mm de lado. Os perfis de velocidade de camada limite são medidos em duas seções transversais, e as espessuras de deslocamento são avaliadas a partir dos perfis medidos. Na seção 1 , onde a velocidade da corrente livre é \mathrm{U}_{1}=26 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, a espessura de deslocamento é \delta^{*}{ }_{1}=1,5 \mathrm{~mm}. Na seção 2 , localizada a jusante da seção 1, \delta^{*}{ }_{2}= 2,1 \mathrm{~mm}. Calcule a variação na pressão estática entre as seções 1 e 2 . Expresse o resultado como uma função da pressão dinâmica da corrente livre na seção 1 . Admita a atmosfera padrão.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variação da pressão estática entre as seções 1 e 2 e expressar o resultado como função da pressão dinâmica da corrente livre na seção 1. Dados fornecidos (peguei o valor da dimensão da seção na imagem enviada):
  • Lado da seção quadrada: L=305\\ \mathrm{mm}=0,305\\ \mathrm{m} (dado retirado da imagem).
  • Velocidade da corrente livre na seção 1: U_1=26\\ \mathrm{m/s}.
  • Espessura de deslocamento na seção 1: \delta^{*}_1=1,5\\ \mathrm{mm}=0,0015\\ \mathrm{m}.
  • Espessura de deslocamento na seção 2: \delta^{*}_2=2,1\\ \mathrm{mm}=0,0021\\ \mathrm{m}.
  • Admitir atmosfera padrão; uso a densidade do ar \rho=1,225\\ \mathrm{kg/m^3} quando for necessário numericamente.
    O objetivo final: obter \Delta p = p_2-p_1 como função da pressão dinâmica em 1, q_1=\tfrac{1}{2}\rho U_1^2.

Passo 2

Entendendo como a espessura de deslocamento afeta a área efetiva de escoamento (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • A espessura de deslocamento \delta^{*} é, em essência, uma medida do “déficit de massa” causado pela camada limite junto a cada parede. Para um lado da parede de comprimento L e deslocamento \delta^{*} uniforme, o déficit de área (visto de cima) é aproximadamente L\cdot\delta^{*}.
  • No caso do tubo com seção quadrada de lado L temos quatro paredes. Subtraindo quatro tiras L\delta^{*} do quadrado L^2 descontamos duas vezes cada canto; devemos então re-adicionar as quatro pequenas quadradinhos de cantos de área (\delta^{*})^2 para corrigir a dupla subtração. Por inclusão-exclusão a área efetiva onde o escoamento livre atua fica
A_{\text{ef}}=(L-2\delta^{*})^2.
  • Aplicando isso às duas seções, com \delta^{*}_1 e \delta^{*}_2, as áreas efetivas são
A_1=(L-2\delta^{*}_1)^2,\qquad A_2=(L-2\delta^{*}_2)^2.

Passo 3

Conservação de massa (continuidade) para escoamento incompresível e estacionário:
  • O fluxo volumétrico Q é constante entre seções:
Q=U_1\,A_1=U_2\,A_2.
  • Isolando U_2:
U_2 = U_1\frac{A_1}{A_2} =U_1\frac{(L-2\delta^{*}_1)^2}{(L-2\delta^{*}_2)^2} =U_1\left(\frac{L-2\delta^{*}_1}{L-2\delta^{*}_2}\right)^2.

Passo 4

Relação entre pressões usando Bernoulli (assumindo que perdas por atrito distribuídas são desprezíveis para o cálculo pedido):
  • Entre as correntes livres das seções 1 e 2 vale
p_1+\tfrac{1}{2}\rho U_1^2 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho U_2^2.
  • Portanto a variação de pressão é
\Delta p \equiv p_2-p_1 = \tfrac{1}{2}\rho\bigl(U_1^2-U_2^2\bigr).
  • Definindo a pressão dinâmica em 1 como q_1=\tfrac{1}{2}\rho U_1^2, obtemos
\Delta p = q_1\left[1-\left(\frac{U_2}{U_1}\right)^2\right].
  • Substituindo o resultado do Passo 3 para \dfrac{U_2}{U_1}:
\Delta p = q_1\left[1-\left(\frac{L-2\delta^{*}_1}{L-2\delta^{*}_2}\right)^4\right].
Esta é a expressão pedida que dá \Delta p como função de q_1.

Passo 5

Cálculo numérico do fator (passo a passo, conversões e contas fáceis de conferir):
  • Converter as espessuras:
\delta^{*}_1=0,0015\\ \mathrm{m},\qquad \delta^{*}_2=0,0021\\ \mathrm{m},\qquad L=0,305\\ \mathrm{m}.
  • Calcular os comprimentos efetivos:
L-2\delta^{*}_1=0,305-2\cdot0,0015=0,302\\ \mathrm{m},
L-2\delta^{*}_2=0,305-2\cdot0,0021=0,3008\\ \mathrm{m}.
  • Razão e sua quarta potência:
\frac{L-2\delta^{*}_1}{L-2\delta^{*}_2}=\frac{0,302}{0,3008}\approx1,003989,
\left(\frac{L-2\delta^{*}_1}{L-2\delta^{*}_2}\right)^4\approx 1,01606.
  • Assim o fator multiplicador de q_1 é
1-\left(\frac{L-2\delta^{*}_1}{L-2\delta^{*}_2}\right)^4 \approx -0,01606.
Ou seja, \Delta p\approx -0,01606\,q_1 (sinal negativo indica queda de pressão em 2 em relação a 1).
  • Se for desejado obter o valor em pascal usando \rho=1,225\\ \mathrm{kg/m^3} e U_1=26\\ \mathrm{m/s}:
q_1=\tfrac{1}{2}\rho U_1^2=\tfrac{1}{2}\cdot1,225\cdot26^2\approx414,05\\ \mathrm{Pa},
\Delta p \approx -0,01606\cdot414,05\\ \mathrm{Pa}\approx -6,65\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Interpretação breve (para não esquecer na prova): o aumento da espessura de deslocamento reduz a área efetiva, acelera o núcleo do escoamento e, por Bernoulli, provoca queda da pressão estática; o resultado foi expresso diretamente em função de q_1 como pedido.

Resposta

\displaystyle \Delta p=p_2-p_1 = q_1\!\left[\,1-\left(\dfrac{L-2\delta^{*}_1}{L-2\delta^{*}_2}\right)^4\right]\newline
\displaystyle \Delta p \approx -0{,}01606\,q_1 \approx -6{,}65\\ \mathrm{Pa} (usando \rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3} e U_1=26\\ \mathrm{m/s}).

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