9.1 Uma solução de etilenoglicol a -10^{\circ} \mathrm{C} troca calor com água em um trocador de calor de tubo duplo e sai a 0^{\circ} \mathrm{C}. A água entra no trocador de calor a 25^{\circ} \mathrm{C} e o deixa a 15^{\circ} \mathrm{C} a uma vazão volumétrica de 0,54 \mathrm{m} 3 / \mathrm{h}. O coeficiente de transferência de calor vale 900 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2^{\circ} \mathrm{C}. Determine a área necessária de troca de calor para as configurações de corrente paralela e contracorrente.:

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
  • Temperaturas:
    • Fluido frio (solução de etilenoglicol): entrada T_{c,in} = -10^\circ\mathrm{C}, saída T_{c,out} = 0^\circ\mathrm{C}.
    • Água (fluido quente): entrada T_{h,in} = 25^\circ\mathrm{C}, saída T_{h,out} = 15^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão volumétrica da água: \dot V_{h} = 0{,}54\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U = 900\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}.
  • O que pedir: determinar a área de troca de calor A para as configurações paralelo e contracorrente.
Observações / hipóteses necessárias que vou usar (normais nesses problemas):
  • Vou tratar a água com densidade \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} e calor específico constante c_{p,h} = 4184\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}.
  • Assumo que as capacidades caloríficas são aproximadamente constantes no intervalo de temperatura dado.
  • A transferência de calor está em regime estacionário, sem acumulação de energia no trocador.

Passo 2

Calcular a vazão mássica da água a partir da vazão volumétrica dada (passo essencial para achar a potência térmica).
  • Converter \dot V_{h} para \mathrm{m^3/s}: \dot V_{h} = \frac{0{,}54}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}00015\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Vazão mássica da água: \dot m_{h} = \rho \dot V_{h} = 1000\cdot 0{,}00015\\ \mathrm{kg/s} = 0{,}15\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação curta: a vazão mássica é necessária porque a potência térmica transportada por um fluido é dada por \dot Q=\dot m c_p \Delta T.

Passo 3

Calcular a potência térmica trocada usando a água (mais simples, pois sua vazão e variação de temperatura são dadas).
  • Variação de temperatura da água: \Delta T_{h} = T_{h,in}-T_{h,out} = 25^\circ\mathrm{C}-15^\circ\mathrm{C} = 10^\circ\mathrm{C}.
  • Potência térmica cedida pela água (que é absorvida pelo etilenoglicol): \dot Q = \dot m_{h}\, c_{p,h}\, \Delta T_{h}.Substituindo: \dot Q = 0{,}15\cdot 4184\cdot 10\\ \mathrm{W} = 6276\\ \mathrm{W}.
Comentário amigo: esse é o calor total que precisa ser transferido no trocador; não precisamos da vazão do etilenoglicol para calcular \dot Q porque o enunciado nos deu as temperaturas de água e sua vazão.

Passo 4

Apresentar a fórmula de projeto do trocador: relação entre \dot Q, U, A e diferença de temperatura média logarítmica (LMTD). Explicar a LMTD.
  • Fórmula básica:
    \dot Q = U\, A\, \Delta T_{lm},
    onde
    • \dot Q é a potência térmica (W),
    • U é o coeficiente global (W/(m2,\circ C)),
    • A é a área de troca (m^2),
    • \Delta T_{lm} é a diferença de temperatura média logarítmica entre os dois fluidos (^\circ C).
  • Fórmula da LMTD (para duas temperaturas diferenciais \Delta T_1 e \Delta T_2):
    \Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
    Aqui \Delta T_1 e \Delta T_2 são as diferenças entre as temperaturas dos dois fluidos em cada extremidade do trocador (dependem se é paralelo ou contracorrente).
Breve intuição: LMTD é uma média “logarítmica” apropriada para diferenças de temperatura que variam exponencialmente ao longo do comprimento do trocador; é o valor que, multiplicado por U A, dá a potência real transferida.

Passo 5

Calcular \Delta T_1, \Delta T_2 e \Delta T_{lm} para o escoamento paralelo.
  • Para paralelo (ambos os fluxos no mesmo sentido): \Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in} = 25 - (-10) = 35^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out} = 15 - 0 = 15^\circ\mathrm{C}.
  • Aplicar a fórmula da LMTD: \Delta T_{lm,\,par} = \frac{35-15}{\ln\!\left(\dfrac{35}{15}\right)} = \frac{20}{\ln\!\left(\dfrac{7}{3}\right)} \approx 23{,}608^\circ\mathrm{C}.
Explicação: escolhemos \Delta T_1 na entrada onde as diferenças são maiores e \Delta T_2 na saída; a LMTD fica entre esses valores de forma logarítmica.

Passo 6

Calcular a área A para fluxo paralelo usando \dot Q = U A \Delta T_{lm}.
  • Reorganizando: A = \frac{\dot Q}{U\, \Delta T_{lm,\,par}}.
  • Substituindo números: A_{par} = \frac{6276}{900\cdot 23{,}608}\\ \mathrm{m^2} \approx 0{,}295\\ \mathrm{m^2}.
Comentário prático: o resultado dá uma área bem pequena — trocadores podem ser compactos quando a diferença de temperatura e U são favoráveis.

Passo 7

Calcular \Delta T_{lm} e área para escoamento contracorrente.
  • Para contracorrente: \Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out} = 25 - 0 = 25^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in} = 15 - (-10) = 25^\circ\mathrm{C}.
  • Observação: aqui \Delta T_1=\Delta T_2=25^\circ\mathrm{C}, logo \Delta T_{lm,\,ctr} = 25^\circ\mathrm{C}.
  • Área: A_{ctr} = \frac{\dot Q}{U\, \Delta T_{lm,\,ctr}} = \frac{6276}{900\cdot 25}\\ \mathrm{m^2} = \frac{6276}{22500}\\ \mathrm{m^2} \approx 0{,}279\\ \mathrm{m^2}.
Explicação curta: no contracorrente as diferenças de temperatura são constantes ao longo do trocador neste caso, por isso a LMTD é simplesmente 25°C; contracorrente costuma ser mais eficiente (menor área) que paralelo.

Passo 8

Resumo interpretativo e incentivo rápido.
  • Resultado prático: o trocador contracorrente exige área ligeiramente menor que o paralelo porque mantém diferenças de temperatura mais favoráveis ao longo do comprimento.
  • Bom trabalho por encarar o problema — ficou só aplicar balanço de energia + LMTD. Se quiser, faço o mesmo com outras suposições de c_p ou com vazão do etilenoglicol para ver impactos.

Resposta

Paralelo: A \approx 0,295\\ \mathrm{m^2}
Contracorrente: A \approx 0,279\\ \mathrm{m^2}

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