9.2 Um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente é usado para resfriar um óleo industrial ( \mathrm{Cp}= 1,5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C} ) de 90^{\circ} \mathrm{C} para 60^{\circ} \mathrm{C}. O resfriamento se dá com água a 20^{\circ} \mathrm{C} a uma vazão de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, que é aquecida a 35^{\circ} \mathrm{C} no processo. O coeficiente global de transferência de calor foi estimado em 300 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 { }^{\circ} \mathrm{C}. Pede-se a vazão de óleo que pode ser resfriada e a área de transferência de calor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Óleo:
    • temperatura de entrada T_{h,i}=90^\circ\mathrm{C},
    • temperatura de saída T_{h,o}=60^\circ\mathrm{C},
    • capacidade calorífica a pressão constante C_{p,\text{oil}}=1,5\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)} (peguei este valor do enunciado).
  • Água (fluido de resfriamento):
    • temperatura de entrada T_{c,i}=20^\circ\mathrm{C},
    • temperatura de saída T_{c,o}=35^\circ\mathrm{C},
    • vazão mássica \dot{m}_c=0,5\\ \mathrm{kg/s} (peguei este valor do enunciado).
  • Coeficiente global de transferência de calor: U=300\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)} (peguei do enunciado).
  • Trocador: controcorrente (contraflux).
O que se pede:
  1. A vazão mássica do óleo \dot{m}_h que pode ser resfriada das temperaturas dadas.
  2. A área de troca térmica A necessária.
Observação importante (assunção usada): o enunciado não deu explicitamente o valor de C_{p} da água. Vou assumir o valor típico à temperatura média: C_{p,\text{água}}=4,18\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}á. Se a prova der outro valor, basta substituir; o método é o mesmo.

Passo 2

Conservação de energia (balanço térmico) — ideia e fórmula.
Princípio: o calor perdido pelo óleo é igual ao calor ganho pela água (sistema adiabático entre os dois fluidos, sem perdas para o ambiente):
\dot{Q}=\dot{m}_h C_{p,h}\left(T_{h,i}-T_{h,o}\right)=\dot{m}_c C_{p,c}\left(T_{c,o}-T_{c,i}\right).
Aqui:
  • \dot{Q} é a taxa de calor trocada (em W);
  • \dot{m}_h e \dot{m}_c são as vazões mássicas do óleo e da água (kg/s);
  • C_{p,h} e C_{p,c} são os calores específicos (J/(kg·°C));
  • as diferenças de temperatura são as variações reais de cada fluido.
Vou usar essa equação para encontrar \dot{m}_h. Antes preciso transformar unidades de C_p para J/(kg·°C).

Passo 3

Converter os C_p para unidades SI (J/(kg·°C)).
Óleo: C_{p,h}=1,5\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}=1{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}.
Água (assumida): C_{p,c}=4,18\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}=4{,}18\times10^{3}\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}.

Passo 4

Calcular a taxa de calor \dot{Q} usando a água (dados conhecidos).
Usando
\dot{Q}=\dot{m}_c C_{p,c}\left(T_{c,o}-T_{c,i}\right),
substituindo os valores (sempre deixando em LaTeX):
\dot{Q}=0{,}5\cdot\left(4{,}18\times10^{3}\right)\cdot\left(35-20\right)\\ \mathrm{W}.
Calcule passo a passo:
\left(35-20\right)=15
0{,}5\cdot4{,}18\times10^{3}=2{,}09\times10^{3}
\dot{Q}=2{,}09\times10^{3}\cdot15=31{,}35\times10^{3}\\ \mathrm{W}=31{,}35\\ \mathrm{kW}.
Então a taxa de calor trocada é \dot{Q}=31{,}350\\ \mathrm{W} (arredondando para três casas significativas: 31{,}35\\ \mathrm{kW}).

Passo 5

Determinar a vazão mássica do óleo \dot{m}_h usando o balanço energético.
Da equação do Passo 2:
\dot{m}_h=\frac{\dot{Q}}{C_{p,h}\left(T_{h,i}-T_{h,o}\right)}.
Substituindo:
\dot{m}_h=\frac{31{,}350}{1{,}5\times10^{3}\cdot\left(90-60\right)}\\ \mathrm{kg/s}.
Calcule passo a passo:
\left(90-60\right)=30
1{,}5\times10^{3}\cdot30=45{,}000
\dot{m}_h=\frac{31{,}350}{45{,}000}=0{,}697\\ \mathrm{kg/s}\\ (\text{aprox.}).
Portanto, a vazão mássica de óleo é aproximadamente \dot{m}_h=0{,}697\\ \mathrm{kg/s}.
Dica prática para prova: sempre calcule \dot{Q} com o fluido cujo \dot{m} é dado (aqui a água) e depois divida pelo produto C_p\Delta T do outro fluido. Isso evita trocar incógnitas.

Passo 6

Agora vamos calcular a área de troca A usando o método LMTD (Log Mean Temperature Difference) para um trocador em contracorrente.
Fórmula geral para trocador com coeficiente global U:
\dot{Q}=U A \,\Delta T_{\text{lm}},
onde \Delta T_{\text{lm}} é a diferença de temperatura logarítmica média (LMTD).
Para contracorrente:
\Delta T_{\text{lm}}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)},
com
\Delta T_1=T_{h,i}-T_{c,o},\qquad \Delta T_2=T_{h,o}-T_{c,i}.
Explicando: \Delta T_1 é a maior diferença de temperatura (entrada do fluido quente menos saída do frio) e \Delta T_2 a menor (saída do quente menos entrada do frio) para contracorrente.

Passo 7

Calcular \Delta T_1, \Delta T_2 e \Delta T_{\text{lm}}.
Peguei as temperaturas do enunciado:
\Delta T_1=90-35=55\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2=60-20=40\\ ^\circ\mathrm{C}.
Agora LMTD:
\Delta T_{\text{lm}}=\frac{55-40}{\ln\!\left(\dfrac{55}{40}\right)}=\frac{15}{\ln(1{,}375)}.
Calcule o logaritmo:
\ln(1{,}375)\approx0{,}31845,
\Delta T_{\text{lm}}\approx\frac{15}{0{,}31845}\approx47{,}11\\ ^\circ\mathrm{C}.
Portanto \Delta T_{\text{lm}}\approx47{,}11\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Calcular a área A.
Usando \dot{Q}=U A \Delta T_{\text{lm}}, isolamos A:
A=\frac{\dot{Q}}{U\,\Delta T_{\text{lm}}}.
Substituindo os valores (todos já em SI):
A=\frac{31{,}350}{300\cdot47{,}11}\\ \mathrm{m^2}.
Calcule passo a passo:
300\cdot47{,}11=14{,}133\\ \mathrm{W/(m^2)}.
A=\frac{31{,}350}{14{,}133}\approx2{,}22\\ \mathrm{m^2}.
Assim, a área necessária é aproximadamente A=2{,}22\\ \mathrm{m^2}.

Passo 9

Verificação rápida e comentários finais (empatia e dica de prova).
  • Os números fazem sentido: a água ganhou \approx31{,}35\\ \mathrm{kW}, que resfria um fluxo de óleo menor (visto que o Cp do óleo é menor).
  • Arredonde conforme instrução da prova; use 2 ou 3 algarismos significativos conforme pedido.
  • Se na prova der outro valor de C_{p,\text{água}}á, substituirá diretamente no Passo 4 e recalcula-se \dot{Q}, \dot{m}_h e A sem alterar o método.
  • Força aí! Faça os cálculos com calma na prova: primeiro balanço de energia, depois LMTD e por fim A. Seguir essa ordem evita confusão.

Resposta

\dot{m}_\text{oil}=0{,}697\\ \mathrm{kg/s}
A=2{,}22\\ \mathrm{m^2}

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