As turbinas de uma usina hidroelétrica são acionadas por água que cai de uma altura de 80 m . Considerando eficiência de 88 \% para a conversão de energia potencial em elétrica, determine a vazão volumétrica de água necessária para gerar 100 MW .

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a vazão volumétrica de água necessária para gerar 100\\ \mathrm{MW} elétricos, sabendo que a água cai de uma altura de 80\\ \mathrm{m} e que a eficiência da conversão de energia potencial em elétrica é de 88\%. Informações dadas e valores numéricos que vamos usar:
\begin{aligned} &P_{\text{elétrica}} = 100\\ \mathrm{MW} = 100\times10^{6}\\ \mathrm{W},\\\ &h = 80\\ \mathrm{m},\\\ &\eta = 88\% = 0{,}88,\\\ &\text{(vamos usar)}\\ \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\\ \text{(densidade da água)},\\\ &\text{(vamos usar)}\\ g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. \end{aligned}éá

Passo 2

Entendendo a física por trás (passo-a-passo, sem pressa): quando uma massa de água cai de altura h, ela perde energia potencial gravitacional. A energia potencial de uma massa m é dada por
E_{\text{pot}} = m g h,
onde m é a massa em quilogramas, g é a aceleração da gravidade e h é a altura. Se água passa continuamente, interessa-nos a energia por unidade de tempo, ou seja, potência.

Passo 3

Relacionando vazão volumétrica com potência: se a vazão volumétrica é Q (em \mathrm{m^{3}/s}), a massa de água que passa por segundo (vazão mássica) é
\dot{m} = \rho Q,
pois \rho é massa por volume. A potência disponível por queda de água (energia potencial por segundo) é então
\dot{E}_{\text{pot}} = \dot{m} g h = \rho Q g h.
Como nem toda essa potência vira eletricidade (há perdas), a potência elétrica gerada é a potência disponível multiplicada pela eficiência \eta:
P_{\text{el}} = \eta\,\rho\,g\,Q\,h.
Aqui:
  • P_{\text{el}} é em watts ( \mathrm{W});
  • \eta é adimensional (por ex. 0{,}88);
  • \rho em \mathrm{kg/m^{3}};
  • g em \mathrm{m/s^{2}};
  • Q em \mathrm{m^{3}/s};
  • h em \mathrm{m}.

Passo 4

Isolando Q na fórmula para calcular a vazão necessária:
Q = \frac{P_{\text{el}}}{\eta\,\rho\,g\,h}.
É uma álgebra direta: multiplicamos os termos do denominador e dividimos o P_{\text{el}} por esse produto.

Passo 5

Substituindo os números e calculando passo a passo:
g\cdot h = 9{,}81\cdot 80 = 784{,}8\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
\rho\cdot (g h) = 1000\cdot 784{,}8 = 784\,800\\ \mathrm{kg/(m\cdot s^{2})}.
\eta\cdot \rho\cdot g\cdot h = 0{,}88\cdot 784\,800 = 690\,624.
Agora a vazão:
Q = \frac{100\times10^{6}}{690\,624}\\ \mathrm{m^{3}/s} \approx 144{,}8\\ \mathrm{m^{3}/s}.
(Se preferir ver em litros por segundo: 144{,}8\\ \mathrm{m^{3}/s} = 144\,800\\ \mathrm{L/s}.)

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: a vazão encontrada é grande — centena e poucas metros cúbicos por segundo — o que é típico de grandes usinas hidrelétricas. Se a prova pedir arredondamento, costuma-se dar 145\\ \mathrm{m^{3}/s}. Vai dar certo — você entendeu o porquê da fórmula e como aplicar na prova!

Resposta

Q \approx 144{,}8\\ \mathrm{m^{3}/s}

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