Um mol de um gás ideal a
e 10 atm se expande adiabaticamente contra uma pressão opositora de 1 atm . Calcule q ,
e a temperatura final. Lembrese que para gases ideias,
.
]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens abaixo.
Dados:
O que se pede:
Observação: o processo é adiabático segundo o enunciado, e a expansão ocorre contra uma pressão externa constante. Nada mais será perguntado — vou resolver passo a passo.
Passo 2
Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicadinhos e com o porquê):
- Lei dos gases ideais: para
mols,
onde
é pressão,
volume,
temperatura absoluta (K) e
é a constante dos gases. Aqui usarei
.
- Trabalho para uma expansão irreversível contra pressão externa constante:
Explicação: com pressão externa constante o trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno é
; pela convenção de termodinâmica (
trabalho sobre o sistema) isso aparece com sinal negativo quando o sistema se expande.
- Primeira lei da termodinâmica:
onde
é a variação de energia interna,
o calor trocado. Para processos adiabáticos
, então
.
- Energia interna de um gás ideal monatomic:
com
. Para gases ideais,
depende somente da variação de temperatura.
- Entalpia para gás ideal:
e
para gás monatomic ideal.
Iremos combinar essas relações para obter
e as demais quantidades.
Passo 3
Calcule
usando a equação dos gases ideais:
Vou deixar
em função de
e da pressão final (que é
; justifico no passo seguinte):
Não calculei numérico de
ainda porque será mais prático eliminar volumes em favor de temperaturas (já que
depende de
).
Passo 4
Justificativa para
: após a expansão o sistema atinge equilíbrio mecânico com o entorno, logo a pressão final do gás interno será igual à pressão externa constante contra a qual expandiu; assim
. Portanto as expressões de
e
do passo anterior são corretas.
Passo 5
Escrever a igualdade entre
(pela dependência de temperatura) e
(pela primeira lei com
):
Como
,
Substituindo
e
e usando as expressões dos volumes:
Simplifico o lado direito (note que
cancela no primeiro termo):
Divido ambos os lados por
(com
no nosso caso) e substituo
:
Agora resolvo essa equação para
. Expando e reorganizo:
Coloco os termos em
no lado esquerdo:
Somando os coeficientes de
:
Logo
Passo 6
Agora plugamos os números. Lembre-se
,
.
Calculo do fator:
Então
Portanto a temperatura final é
. (Sim, o gás resfria porque fez trabalho sem troca de calor.)
Passo 7
Com
determinado, calculamos
,
,
e
.
Variação de temperatura:
Energia interna:
Com
,
(arredondando para três algarismos significativos:
).
Como
, da primeira lei
. Portanto
Entalpia:
Numericamente,
Observação rápida de consistência: podemos também calcular
diretamente por
convertendo pressões para SI e usando os volumes pela lei dos gases; esse procedimento dá o mesmo valor numérico dentro do arredondamento.
Passo 8
Resumo interpretativo curto e incentivo: o processo é adiabático e irreversível (pressão externa fixa menor que inicial), por isso o sistema faz trabalho, perde energia interna e sua temperatura cai. Você chegou até aqui — ótimo! Dá para repetir esse tipo de raciocínio em outras situações trocando os valores de
,
e
.