Um mol de um gás ideal a 27{ }^{\circ} \mathrm{C} e 10 atm se expande adiabaticamente contra uma pressão opositora de 1 atm . Calcule q , \mathrm{w}, \Delta \mathrm{U}, \Delta \mathrm{H} e a temperatura final. Lembrese que para gases ideias, \mathrm{C}_{\mathrm{v}, \mathrm{m}}=3 / 2 \mathrm{R}.
[\mathrm{R}: \mathrm{q}=0, \mathrm{w}=-1,349 \mathrm{~kJ}, \Delta \mathrm{U}=+1,349 \mathrm{~kJ}, \Delta \mathrm{H}= -2,244 \mathrm{~kJ} ]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens abaixo.
Dados:
\begin{aligned} &\text{número de mols: } n=1,\\\ &\text{temperatura inicial: } T_{1}=27{ }^{\circ}\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K},\\\ &\text{pressão inicial: } P_{1}=10\\ \mathrm{atm},\\\ &\text{pressão opositora (constante): } P_{\text{ext}}=1\\ \mathrm{atm},\\\ &\text{capacidades molares (gás ideal monatomic): } C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R. \end{aligned}úããá
O que se pede:
\text{calcular } q,\\ w,\\ \Delta U,\\ \Delta H\\ \text{e a temperatura final } T_{2}.
Observação: o processo é adiabático segundo o enunciado, e a expansão ocorre contra uma pressão externa constante. Nada mais será perguntado — vou resolver passo a passo.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicadinhos e com o porquê):
  1. Lei dos gases ideais: para n mols,
PV=nRT,
onde P é pressão, V volume, T temperatura absoluta (K) e R é a constante dos gases. Aqui usarei R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  1. Trabalho para uma expansão irreversível contra pressão externa constante:
w=-P_{\text{ext}}(V_{2}-V_{1}).
Explicação: com pressão externa constante o trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno é P_{\text{ext}}(V_{2}-V_{1}); pela convenção de termodinâmica ( w trabalho sobre o sistema) isso aparece com sinal negativo quando o sistema se expande.
  1. Primeira lei da termodinâmica:
\Delta U=q+w,
onde \Delta U é a variação de energia interna, q o calor trocado. Para processos adiabáticos q=0, então \Delta U=w.
  1. Energia interna de um gás ideal monatomic:
\Delta U=nC_{V,m}(T_{2}-T_{1}),
com C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R. Para gases ideais, \Delta U depende somente da variação de temperatura.
  1. Entalpia para gás ideal:
\Delta H=nC_{P,m}(T_{2}-T_{1}),
e C_{P,m}=C_{V,m}+R=\tfrac{5}{2}R para gás monatomic ideal.
Iremos combinar essas relações para obter T_{2} e as demais quantidades.

Passo 3

Calcule V_{1} usando a equação dos gases ideais:
V_{1}=\frac{nRT_{1}}{P_{1}}.
Vou deixar V_{2} em função de T_{2} e da pressão final (que é P_{\text{ext}}; justifico no passo seguinte):
V_{2}=\frac{nRT_{2}}{P_{\text{ext}}}.
Não calculei numérico de V_{1} ainda porque será mais prático eliminar volumes em favor de temperaturas (já que \Delta U depende de T_{2}-T_{1}).

Passo 4

Justificativa para P_{2}=P_{\text{ext}}: após a expansão o sistema atinge equilíbrio mecânico com o entorno, logo a pressão final do gás interno será igual à pressão externa constante contra a qual expandiu; assim P_{2}=P_{\text{ext}}=1\\ \mathrm{atm}. Portanto as expressões de V_{1} e V_{2} do passo anterior são corretas.

Passo 5

Escrever a igualdade entre \Delta U (pela dependência de temperatura) e w (pela primeira lei com q=0):
Como q=0,
\Delta U=w.
Substituindo \Delta U=nC_{V,m}(T_{2}-T_{1}) e w=-P_{\text{ext}}(V_{2}-V_{1}) e usando as expressões dos volumes:
nC_{V,m}(T_{2}-T_{1}) = -P_{\text{ext}}\left(\frac{nRT_{2}}{P_{\text{ext}}}-\frac{nRT_{1}}{P_{1}}\right).
Simplifico o lado direito (note que P_{\text{ext}} cancela no primeiro termo):
nC_{V,m}(T_{2}-T_{1}) = -nR\left(T_{2}-\frac{P_{\text{ext}}}{P_{1}}T_{1}\right).
Divido ambos os lados por nR (com n=1 no nosso caso) e substituo C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R:
\frac{3}{2}(T_{2}-T_{1}) = -\left(T_{2}-\frac{P_{\text{ext}}}{P_{1}}T_{1}\right).
Agora resolvo essa equação para T_{2}. Expando e reorganizo:
\frac{3}{2}T_{2}-\frac{3}{2}T_{1} = -T_{2} + \frac{P_{\text{ext}}}{P_{1}}T_{1}.
Coloco os termos em T_{2} no lado esquerdo:
\frac{3}{2}T_{2}+T_{2} = \frac{3}{2}T_{1} + \frac{P_{\text{ext}}}{P_{1}}T_{1}.
Somando os coeficientes de T_{2}:
\frac{5}{2}T_{2} = T_{1}\left(\frac{3}{2} + \frac{P_{\text{ext}}}{P_{1}}\right).
Logo
T_{2} = \frac{2}{5}\,T_{1}\left(\frac{3}{2} + \frac{P_{\text{ext}}}{P_{1}}\right).

Passo 6

Agora plugamos os números. Lembre-se T_{1}=300\\ \mathrm{K}, P_{\text{ext}}/P_{1}=1/10=0{,}1.
Calculo do fator:
\frac{3}{2} + \frac{P_{\text{ext}}}{P_{1}} = 1{,}5 + 0{,}1 = 1{,}6.
Então
T_{2} = \frac{2}{5}\times 300\times 1{,}6 = 0{,}4\times 300\times 1{,}6 = 300\times 0{,}64 = 192\\ \mathrm{K}.
Portanto a temperatura final é T_{2}=192\\ \mathrm{K}. (Sim, o gás resfria porque fez trabalho sem troca de calor.)

Passo 7

Com T_{2} determinado, calculamos \Delta T, \Delta U, w e \Delta H.
Variação de temperatura:
\Delta T = T_{2}-T_{1} = 192-300 = -108\\ \mathrm{K}.
Energia interna:
\Delta U = nC_{V,m}\Delta T = 1\cdot \frac{3}{2}R\cdot(-108) = -\frac{3}{2}\cdot 108\cdot R = -162\,R.
Com R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
\Delta U = -162\times 8{,}314\\ \mathrm{J} = -1{,}347\\ \mathrm{kJ}\\ \\ (\text{aprox.})
(arredondando para três algarismos significativos: -1{,}347\\ \mathrm{kJ}).
Como q=0, da primeira lei \Delta U=w. Portanto
w=-1{,}347\\ \mathrm{kJ}.
Entalpia:
\Delta H = nC_{P,m}\Delta T = 1\cdot \frac{5}{2}R\cdot(-108) = -270\,R.
Numericamente,
\Delta H = -270\times 8{,}314\\ \mathrm{J} = -2{,}245\\ \mathrm{kJ}\\ \\ (\text{aprox.}).
Observação rápida de consistência: podemos também calcular w diretamente por w=-P_{\text{ext}}(V_{2}-V_{1}) convertendo pressões para SI e usando os volumes pela lei dos gases; esse procedimento dá o mesmo valor numérico dentro do arredondamento.

Passo 8

Resumo interpretativo curto e incentivo: o processo é adiabático e irreversível (pressão externa fixa menor que inicial), por isso o sistema faz trabalho, perde energia interna e sua temperatura cai. Você chegou até aqui — ótimo! Dá para repetir esse tipo de raciocínio em outras situações trocando os valores de P_{\text{ext}}, P_{1} e C_{V,m}.

Resposta

q=0
w=-1{,}347\\ \mathrm{kJ}
\Delta U=-1{,}347\\ \mathrm{kJ}
\Delta H=-2{,}245\\ \mathrm{kJ}
T_{2}=192\\ \mathrm{K}

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