Em uma turma de Engenharia com
estudantes, as notas ( 0 a 10 ) obtidas em um exame de Cálculo foram:
3,
7,
.
(a) Monte a tabela de frequências.
(b) Calcule as medidas de tendência central.
(c) Calcule as medidas de dispersão.
(d) Determine os quartis,
.
(e) Identifique outliers usando o critério do box-plot.
(f) Represente os dados com histograma e box-plot.
(g) Interprete os resultados
3,
7,
(a) Monte a tabela de frequências.
(b) Calcule as medidas de tendência central.
(c) Calcule as medidas de dispersão.
(d) Determine os quartis,
(e) Identifique outliers usando o critério do box-plot.
(f) Represente os dados com histograma e box-plot.
(g) Interprete os resultados
Passo 1
O que o enunciado pede (resumido):
(a) montar a tabela de frequências; (b) calcular medidas de tendência central; (c) calcular medidas de dispersão; (d) determinar os quartis, e
; (e) identificar outliers pelo critério do box-plot; (f) representar os dados com histograma e box-plot; (g) interpretar os resultados.
(a) montar a tabela de frequências; (b) calcular medidas de tendência central; (c) calcular medidas de dispersão; (d) determinar os quartis,
Dados fornecidos (extraídos do enunciado):
Observação importante sobre os dados: o enunciado diz que
, mas ao extrair os números da lista acima eu contei inicialmente
observações. Para seguir com os cálculos e igualar a
(como dado no enunciado), adotei a hipótese mais plausível: há uma observação faltante igual a
(valor muito frequente na lista). Portanto, a análise abaixo considera
e a distribuição obtida com essa suposição. Se a observação faltante for outra, alguns números mudarão ligeiramente (em especial média e variância).
Lista de valores distintos considerados (passo seguinte constrói a tabela de frequências a partir dessa hipótese).
Passo 2
Montagem da tabela de frequências (valor — frequência absoluta
— frequência relativa
— frequência acumulada
). Primeiro faço a contagem por nota (valores em passos de
):
Cálculo das frequências (usei os dados do enunciado + a suposição de mais um
):
Explicação (didática curta): para cada nota eu contei quantas vezes aparece na lista; a frequência relativa em % é
; a frequência acumulada
soma as frequências desde o menor valor até aquele valor.
Passo 3
Medidas de tendência central — explicação e cálculo passo a passo.
- Média (definição): a média aritmética de uma amostra é a soma das observações dividida pelo número de observações. Symbolicamente,
onde
são os valores distintos,
as frequências e
. Aqui usei a tabela do Passo 2.
Cálculo prático:
Interpretação: a nota média da turma é aproximadamente
.
- Mediana (definição): a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Para
par (aqui ) a mediana é a média dos valores nas posições e , isto é, posições e .
Usando a frequência acumulada do Passo 2, as posições
e
caem na classe da nota
(porque a frequência acumulada atinge
em
). Logo a mediana é
- Moda: é o valor com maior frequência absoluta. Da tabela,
(frequência ).
Passo 4
Medidas de dispersão — explicação das fórmulas e cálculo.
- Alcance (range): diferença entre máximo e mínimo.
- Variância e desvio-padrão — explico duas versões:
- Variância populacional (para descritiva da turma, dividir por
):
- Variância amostral (se você tratar os 40 alunos como amostra de uma população maior, divide-se por
):
Cálculo (usei a soma dos quadrados
):
Se preferir a versão amostral:
Observação didática: para relatórios simples de turma costuma-se usar a variância populacional (dividir por
), porque estamos descrevendo a população que temos (os 40 alunos). Se for inferência estatística, usa-se
(dividir por
).
Passo 5
Quartis,
(terceiro decil) e
(70.º percentil) — método e cálculo.
Regra de posição usada (método clássico de interpolação): a posição do percentil
é
. Para decil
usamos
(já que decil 3 = percentil 30).
Cálculo dos quartis (usando a definição de dividir a amostra ordenada):
-
: como é par, toma-se mediana da metade inferior (posições a ). Equivale à média entre os valores nas posições e . Pelas posições da tabela, posições e são . Logo
-
mediana (Passo 3). -
: mediana da metade superior (posições a ), equivale à média das posições e ; ambas são . Logo
Decil
(
): posição
Isto está entre a 12.ª e 13.ª observações. A 12.ª é
e a 13.ª é
. Interpolando:
Percentil
: posição
Está entre a 28.ª e 29.ª observações; ambas (posições 26–29 correspondem a
) são
. Logo
Passo 6
Outliers pelo critério do box-plot — explicação e verificação.
Regra (clássica): calcular o intervalo interquartílico
Fronteiras para outliers:
Cálculo:
Todas as notas observadas estão entre
e
, que está dentro de
. Portanto: não há outliers segundo o critério do box-plot.
Passo 7
Construção do histograma e do box-plot (instruções práticas para desenhar — passo a passo).
Histograma (escolha de classes simples): prefiro classes de largura
(fácil de desenhar), por exemplo:
Frequências por classe (contagem usando tabela de valores):
Para desenhar: eixo horizontal = notas (classes), eixo vertical = frequência absoluta; cada barra com altura igual à contagem acima; barras contíguas sem espaço (histograma).
Box-plot (instruções): desenhe uma caixa do
até
; marque a mediana
dentro da caixa; trace “bigodes” até o menor valor
e até o maior
(não há outliers, portanto bigodes alcançam os extremos observados). Anote
.
Passo 8
Interpretação dos resultados (linguagem simples e motivadora):
- Centro da distribuição: a média é
, a mediana é e a moda é . Ou seja, a tendência central está em torno de — muitos alunos tiraram notas por volta de . - Simetria: como
por uma pequena margem, há uma leve assimetria positiva (cauda para a direita), causada por algumas notas altas (por exemplo e ), mas não é uma assimetria forte. - Dispersão: o desvio-padrão populacional é
, o que indica dispersão moderada em torno da média; o range é (do ao ). O IQR mostra que 50% das notas estão entre e . - Outliers: nenhum outlier detectado pelo critério do box-plot — os extremos não são tão extremos em relação ao IQR.
- Interpretação prática (engenharia): a turma tem desempenho central típico em torno de
, com uma faixa intermédia de a ; há alguns alunos com desempenho bem acima (8–9,5), mas não há notas exageradamente baixas ou altas que destoem fortemente.
Motivação final: isso indica uma turma com desempenho razoavelmente homogêneo em torno de
; se o objetivo for subir a média, convém focar nos alunos na faixa
–
, pois concentram uma boa parte da turma.
Resposta
(a) Tabela de frequências:
(b) Medidas de tendência central:
(c) Medidas de dispersão:
(Se preferir estimador amostral:
.)
(d) Quartis,
,
:
(e) Outliers pelo box-plot:
Nenhuma observação está fora de
. Portanto: nenhum outlier.
(f) Representações (como desenhar):
- Histograma (classes largura
):
Desenhe barras com essas alturas sobre as classes.
- Box-plot: caixa de
a com mediana em ; bigodes até mínimo e máximo ; sem pontos outliers.
(g) Interpretação resumida:
A turma tem tendência central perto de (média
, mediana
, moda
), dispersão moderada (
, IQR
), leve assimetria positiva (média > mediana) e sem outliers. Metade dos alunos está entre
e
, indicação de desempenho relativamente homogêneo em torno de
.
A turma tem tendência central perto de