Em uma turma de Engenharia com n=40 estudantes, as notas ( 0 a 10 ) obtidas em um exame de Cálculo foram:
3, 5 ; 4,0 ; 6,0 ; 7,5 ; 5,0 ; 8,0 ; 6,5 ; 7,0 ; 4,5 ; 5,5 ; 6,0 ; 9,0 ; 3,0 ; 4,0 ; 7,0 ; 6,5 ; 8,5 ; 5,0 ; 6,0 ; 7,5 ; 9,5 ; 8,0 ;
7, 5 ; 6,0 ; 4,5 ; 3,5 ; 5,5 ; 7,0 ; 6,5 ; 8,0 ; 9,0 ; 4,0 ; 5,0 ; 6,0 ; 7,0 ; 8,5 ; 5,5 ; 4,5 ; 6,0.
(a) Monte a tabela de frequências.
(b) Calcule as medidas de tendência central.
(c) Calcule as medidas de dispersão.
(d) Determine os quartis, D_{3}, P_{70}.
(e) Identifique outliers usando o critério do box-plot.
(f) Represente os dados com histograma e box-plot.
(g) Interprete os resultados

Passo 1

O que o enunciado pede (resumido):
(a) montar a tabela de frequências; (b) calcular medidas de tendência central; (c) calcular medidas de dispersão; (d) determinar os quartis, D_{3} e P_{70}; (e) identificar outliers pelo critério do box-plot; (f) representar os dados com histograma e box-plot; (g) interpretar os resultados.
Dados fornecidos (extraídos do enunciado):
3,5;\;4,0;\;6,0;\;7,5;\;5,0;\;8,0;\;6,5;\;7,0;\;4,5;\;5,5;\;6,0;\;9,0;\;3,0;\;4,0;\;7,0;\;6,5;\;8,5;\;5,0;\;6,0;\;7,5;
9,5;\;8,0;\;7,5;\;6,0;\;4,5;\;3,5;\;5,5;\;7,0;\;6,5;\;8,0;\;9,0;\;4,0;\;5,0;\;6,0;\;7,0;\;8,5;\;5,5;\;4,5;\;6,0.
Observação importante sobre os dados: o enunciado diz que n=40, mas ao extrair os números da lista acima eu contei inicialmente 39 observações. Para seguir com os cálculos e igualar a n=40 (como dado no enunciado), adotei a hipótese mais plausível: há uma observação faltante igual a 6,0 (valor muito frequente na lista). Portanto, a análise abaixo considera n=40 e a distribuição obtida com essa suposição. Se a observação faltante for outra, alguns números mudarão ligeiramente (em especial média e variância).
Lista de valores distintos considerados (passo seguinte constrói a tabela de frequências a partir dessa hipótese).

Passo 2

Montagem da tabela de frequências (valor — frequência absoluta f — frequência relativa \% — frequência acumulada F). Primeiro faço a contagem por nota (valores em passos de 0,5):
Cálculo das frequências (usei os dados do enunciado + a suposição de mais um 6,0):
\begin{array}{lcccr} \text{Nota} & f & \text{(relativa \%)} & F\\hline 3,0 & 1 & 2{,}5\% & 1\\\\ 3,5 & 2 & 5{,}0\% & 3\\\\ 4,0 & 3 & 7{,}5\% & 6\\\\ 4,5 & 3 & 7{,}5\% & 9\\\\ 5,0 & 3 & 7{,}5\% & 12\\\\ 5,5 & 3 & 7{,}5\% & 15\\\\ 6,0 & 7 & 17{,}5\% & 22\\\\ 6,5 & 3 & 7{,}5\% & 25\\\\ 7,0 & 4 & 10{,}0\% & 29\\\\ 7,5 & 3 & 7{,}5\% & 32\\\\ 8,0 & 3 & 7{,}5\% & 35\\\\ 8,5 & 2 & 5{,}0\% & 37\\\\ 9,0 & 2 & 5{,}0\% & 39\\\\ 9,5 & 1 & 2{,}5\% & 40\\hline \text{Total} & 40 & 100\% & --- \end{array}
Explicação (didática curta): para cada nota eu contei quantas vezes aparece na lista; a frequência relativa em % é 100\cdot f/n; a frequência acumulada F soma as frequências desde o menor valor até aquele valor.

Passo 3

Medidas de tendência central — explicação e cálculo passo a passo.
  1. Média (definição): a média aritmética de uma amostra é a soma das observações dividida pelo número de observações. Symbolicamente,
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} f_i x_i,
onde x_i são os valores distintos, f_i as frequências e n=\sum f_i. Aqui usei a tabela do Passo 2.
Cálculo prático:
\sum f_i x_i = 247{,}5 \quad(\text{soma dos produtos nota}\times\text{freq}).
\bar{x}=\frac{247{,}5}{40}=6{,}1875.
Interpretação: a nota média da turma é aproximadamente 6{,}19.
  1. Mediana (definição): a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Para n par (aqui n=40) a mediana é a média dos valores nas posições n/2 e n/2+1, isto é, posições 20 e 21.
Usando a frequência acumulada do Passo 2, as posições 20 e 21 caem na classe da nota 6,0 (porque a frequência acumulada atinge 22 em 6,0). Logo a mediana é
\text{Mediana}=6{,}0.
  1. Moda: é o valor com maior frequência absoluta. Da tabela, \text{moda}=6{,}0 (frequência 7).

Passo 4

Medidas de dispersão — explicação das fórmulas e cálculo.
  1. Alcance (range): diferença entre máximo e mínimo.
\text{mín}=3{,}0,\quad \text{máx}=9{,}5,\quad \text{range}=9{,}5-3{,}0=6{,}5.íá
  1. Variância e desvio-padrão — explico duas versões:
  • Variância populacional (para descritiva da turma, dividir por n):
\sigma^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i} f_i (x_i-\bar{x})^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i} f_i x_i^{2} - \bar{x}^{2}.
  • Variância amostral (se você tratar os 40 alunos como amostra de uma população maior, divide-se por n-1):
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i} f_i (x_i-\bar{x})^{2}.
Cálculo (usei a soma dos quadrados \sum f_i x_i^{2}=1640{,}25):
\frac{1}{n}\sum f_i x_i^{2}=\frac{1640{,}25}{40}=41{,}00625.
\sigma^{2}=41{,}00625-\bar{x}^{2}=41{,}00625-(6{,}1875)^{2}=41{,}00625-38{,}28515625=2{,}72109375.
\sigma=\sqrt{2{,}72109375}\approx 1{,}6491.
Se preferir a versão amostral:
s^{2}=\frac{1640{,}25-40\cdot(6{,}1875)^{2}}{39}=\frac{108{,}84375}{39}\approx 2{,}7909,
s\approx\sqrt{2{,}7909}\approx 1{,}671.
Observação didática: para relatórios simples de turma costuma-se usar a variância populacional (dividir por n), porque estamos descrevendo a população que temos (os 40 alunos). Se for inferência estatística, usa-se s (dividir por n-1).

Passo 5

Quartis, D_{3} (terceiro decil) e P_{70} (70.º percentil) — método e cálculo.
Regra de posição usada (método clássico de interpolação): a posição do percentil P_{k} é L=(k/100)\cdot (n+1). Para decil D_{3} usamos k=30 (já que decil 3 = percentil 30).
Cálculo dos quartis (usando a definição de dividir a amostra ordenada):
  • Q_{1}: como n é par, toma-se mediana da metade inferior (posições 1 a 20). Equivale à média entre os valores nas posições 10 e 11. Pelas posições da tabela, posições 10 e 11 são 5{,}0. Logo
Q_{1}=5{,}0.
  • Q_{2}= mediana =6{,}0 (Passo 3).
  • Q_{3}: mediana da metade superior (posições 21 a 40), equivale à média das posições 30 e 31; ambas são 7{,}5. Logo
Q_{3}=7{,}5.
Decil D_{3} ( 30\%): posição
L=\frac{3}{10}\,(n+1)=\frac{3}{10}\cdot 41=12{,}3.
Isto está entre a 12.ª e 13.ª observações. A 12.ª é 5{,}0 e a 13.ª é 5{,}5. Interpolando:
D_{3}=5{,}0+0{,}3\cdot(5{,}5-5{,}0)=5{,}0+0{,}3\cdot 0{,}5=5{,}15.
Percentil P_{70}: posição
L=0{,}70\cdot(n+1)=0{,}70\cdot 41=28{,}7.
Está entre a 28.ª e 29.ª observações; ambas (posições 26–29 correspondem a 7{,}0) são 7{,}0. Logo
P_{70}=7{,}0.

Passo 6

Outliers pelo critério do box-plot — explicação e verificação.
Regra (clássica): calcular o intervalo interquartílico
\text{IQR}=Q_{3}-Q_{1}.
Fronteiras para outliers:
\text{LF}=Q_{1}-1{,}5\cdot\text{IQR},\qquad \text{UF}=Q_{3}+1{,}5\cdot\text{IQR}.
Cálculo:
\text{IQR}=7{,}5-5{,}0=2{,}5.
\text{LF}=5{,}0-1{,}5\cdot 2{,}5=5{,}0-3{,}75=1{,}25.
\text{UF}=7{,}5+3{,}75=11{,}25.
Todas as notas observadas estão entre 3{,}0 e 9{,}5, que está dentro de [1{,}25,11{,}25]. Portanto: não há outliers segundo o critério do box-plot.

Passo 7

Construção do histograma e do box-plot (instruções práticas para desenhar — passo a passo).
Histograma (escolha de classes simples): prefiro classes de largura 1{,}0 (fácil de desenhar), por exemplo:
[3{,}0,4{,}0),\;[4{,}0,5{,}0),\;[5{,}0,6{,}0),\;[6{,}0,7{,}0),\;[7{,}0,8{,}0),\;[8{,}0,9{,}0),\;[9{,}0,10{,}0).
Frequências por classe (contagem usando tabela de valores):
[3{,}0,4{,}0)\Rightarrow 3,\quad [4{,}0,5{,}0)\Rightarrow 6,\quad [5{,}0,6{,}0)\Rightarrow 6,
[6{,}0,7{,}0)\Rightarrow 10,\quad [7{,}0,8{,}0)\Rightarrow 7,\quad [8{,}0,9{,}0)\Rightarrow 5,\quad [9{,}0,10{,}0)\Rightarrow 3.
Para desenhar: eixo horizontal = notas (classes), eixo vertical = frequência absoluta; cada barra com altura igual à contagem acima; barras contíguas sem espaço (histograma).
Box-plot (instruções): desenhe uma caixa do Q_{1}=5{,}0 até Q_{3}=7{,}5; marque a mediana 6{,}0 dentro da caixa; trace “bigodes” até o menor valor 3{,}0 e até o maior 9{,}5 (não há outliers, portanto bigodes alcançam os extremos observados). Anote IQR=2{,}5.

Passo 8

Interpretação dos resultados (linguagem simples e motivadora):
  • Centro da distribuição: a média é \bar{x}\approx 6{,}19, a mediana é 6{,}0 e a moda é 6{,}0. Ou seja, a tendência central está em torno de 6 — muitos alunos tiraram notas por volta de 6.
  • Simetria: como \bar{x} > \text{mediana} por uma pequena margem, há uma leve assimetria positiva (cauda para a direita), causada por algumas notas altas (por exemplo 9{,}0 e 9{,}5), mas não é uma assimetria forte.
  • Dispersão: o desvio-padrão populacional é \sigma\approx 1{,}65, o que indica dispersão moderada em torno da média; o range é 6{,}5 (do 3{,}0 ao 9{,}5). O IQR =2{,}5 mostra que 50% das notas estão entre 5{,}0 e 7{,}5.
  • Outliers: nenhum outlier detectado pelo critério do box-plot — os extremos não são tão extremos em relação ao IQR.
  • Interpretação prática (engenharia): a turma tem desempenho central típico em torno de 6, com uma faixa intermédia de 5 a 7{,}5; há alguns alunos com desempenho bem acima (8–9,5), mas não há notas exageradamente baixas ou altas que destoem fortemente.
Motivação final: isso indica uma turma com desempenho razoavelmente homogêneo em torno de 6; se o objetivo for subir a média, convém focar nos alunos na faixa 4 6, pois concentram uma boa parte da turma.

Resposta

(a) Tabela de frequências:
\begin{array}{lcccr} \text{Nota} & f & \text{(\%)} & F\\hline 3{,}0 & 1 & 2{,}5\% & 1\\\\ 3{,}5 & 2 & 5{,}0\% & 3\\\\ 4{,}0 & 3 & 7{,}5\% & 6\\\\ 4{,}5 & 3 & 7{,}5\% & 9\\\\ 5{,}0 & 3 & 7{,}5\% & 12\\\\ 5{,}5 & 3 & 7{,}5\% & 15\\\\ 6{,}0 & 7 & 17{,}5\% & 22\\\\ 6{,}5 & 3 & 7{,}5\% & 25\\\\ 7{,}0 & 4 & 10{,}0\% & 29\\\\ 7{,}5 & 3 & 7{,}5\% & 32\\\\ 8{,}0 & 3 & 7{,}5\% & 35\\\\ 8{,}5 & 2 & 5{,}0\% & 37\\\\ 9{,}0 & 2 & 5{,}0\% & 39\\\\ 9{,}5 & 1 & 2{,}5\% & 40 \end{array}
(b) Medidas de tendência central:
\bar{x}=6{,}1875,\qquad \text{Mediana}=6{,}0,\qquad \text{Moda}=6{,}0.
(c) Medidas de dispersão:
\text{Range}=6{,}5,\qquad \sigma^{2}=2{,}7211,\qquad \sigma\approx1{,}6491.
(Se preferir estimador amostral: s^{2}\approx2{,}7909,\; s\approx1{,}671.)
(d) Quartis, D_{3}, P_{70}:
Q_{1}=5{,}0,\quad Q_{2}=6{,}0,\quad Q_{3}=7{,}5;
D_{3}=5{,}15,\quad P_{70}=7{,}0.
(e) Outliers pelo box-plot:
\text{IQR}=2{,}5,\quad \text{LF}=1{,}25,\quad \text{UF}=11{,}25.
Nenhuma observação está fora de [1{,}25,11{,}25]. Portanto: nenhum outlier.
(f) Representações (como desenhar):
  • Histograma (classes largura 1{,}0):
[3{,}0,4{,}0):3,\\ [4{,}0,5{,}0):6,\\ [5{,}0,6{,}0):6,\\ [6{,}0,7{,}0):10,
[7{,}0,8{,}0):7,\\ [8{,}0,9{,}0):5,\\ [9{,}0,10{,}0):3.
Desenhe barras com essas alturas sobre as classes.
  • Box-plot: caixa de Q_{1}=5{,}0 a Q_{3}=7{,}5 com mediana em 6{,}0; bigodes até mínimo 3{,}0 e máximo 9{,}5; sem pontos outliers.
(g) Interpretação resumida:
A turma tem tendência central perto de 6 (média 6{,}19, mediana 6{,}0, moda 6{,}0), dispersão moderada ( \sigma\approx1{,}65, IQR =2{,}5), leve assimetria positiva (média > mediana) e sem outliers. Metade dos alunos está entre 5{,}0 e 7{,}5, indicação de desempenho relativamente homogêneo em torno de 6.

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