Os dados abaixo referem-se à dureza de 30 peças de alumínio (Tome cuidado com o tipo de variável que está sendo estudada)
53.0
70.2
84.3
69.5
77.8
87.5
53.4
58.7
75.1
63.4
79.3
80.8
95.4
51.4
74.1
65.5
85.1
81.6
59.4
61.3
66.5
72.6
55.3
68.5
72.3
59.5
53.5
70.3
50.2
50.7
(a) Faça uma tabela de distribuição de frequências.
(b) Faça a representação gráfica mais adequada para a distribuição de frequências.
(c) Calcule média, mediana, moda, variância, desvio padrão, quartil 1 e quartil 3.
(d) Interprete cada uma das medidas encontradas no item anterior.
(e) Apresente o polígono de frequência e a ogiva dos dados.
(f) Faça um esquema de cinco números, um box plot.
(g) Interprete o box-plot.
(h) Comente os resultados.
| 53.0 | 70.2 | 84.3 | 69.5 | 77.8 | 87.5 |
| 53.4 | 58.7 | 75.1 | 63.4 | 79.3 | 80.8 |
| 95.4 | 51.4 | 74.1 | 65.5 | 85.1 | 81.6 |
| 59.4 | 61.3 | 66.5 | 72.6 | 55.3 | 68.5 |
| 72.3 | 59.5 | 53.5 | 70.3 | 50.2 | 50.7 |
(b) Faça a representação gráfica mais adequada para a distribuição de frequências.
(c) Calcule média, mediana, moda, variância, desvio padrão, quartil 1 e quartil 3.
(d) Interprete cada uma das medidas encontradas no item anterior.
(e) Apresente o polígono de frequência e a ogiva dos dados.
(f) Faça um esquema de cinco números, um box plot.
(g) Interprete o box-plot.
(h) Comente os resultados.
Passo 1
O enunciado pede várias análises descritivas dos dados de dureza de
peças de alumínio. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas do enunciado:
(a) Fazer uma tabela de distribuição de frequências.
(b) Fazer a representação gráfica mais adequada para a distribuição de frequências.
(c) Calcular média, mediana, moda, variância, desvio padrão, quartil 1 e quartil 3.
(d) Interpretar cada uma das medidas calculadas.
(e) Apresentar o polígono de frequência e a ogiva dos dados.
(f) Fazer um esquema de cinco números e um box plot.
(g) Interpretar o box-plot.
(h) Comentar os resultados.
(a) Fazer uma tabela de distribuição de frequências.
(b) Fazer a representação gráfica mais adequada para a distribuição de frequências.
(c) Calcular média, mediana, moda, variância, desvio padrão, quartil 1 e quartil 3.
(d) Interpretar cada uma das medidas calculadas.
(e) Apresentar o polígono de frequência e a ogiva dos dados.
(f) Fazer um esquema de cinco números e um box plot.
(g) Interpretar o box-plot.
(h) Comentar os resultados.
Dados (fornecidos na tabela do enunciado), reorganizados em ordem crescente (usei os dados originais e ordenei para facilitar a mediana e os quartis):
Informações numéricas relevantes (visão rápida):
Observação sobre o tipo de variável: a dureza é uma variável quantitativa contínua (medida em unidades que aceitam valores não-inteiros).
A resolução prática começa no próximo passo.
Passo 2
Construção da tabela de distribuição de frequências (escolha das classes e contagem).
Decisão sobre número de classes: uso da regra de Sturges (aproximada) dá
. Optei por
classes de largura igual aproximada para simplificar cálculos na prova.
Definição das classes (intervalos left-inclusive, right-exclusive, exceto a última que inclui o extremo superior):
Os pontos de corte cobrem todo o intervalo
.
Contagem de observações por classe (fácil de verificar com a lista ordenada):
- Classe
: valores → frequência . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → .
Tabela de frequências (apresentação completa):
Freqüências relativas (opcionais para a tabela): cada
dividido por
:
.
Passo 3
Que gráfico é mais adequado e como construí-lo (explicação didática).
- Para variáveis quantitativas contínuas a representação mais adequada é o histograma (barras contínuas com altura proporcional à frequência/ densidade). O histograma mostra forma, dispersão e presença de caudas.
- Complementares: polígono de frequência (liga os pontos formados pelos pontos médios das classes e suas frequências) e ogiva (gráfico da frequência acumulada em função de limites de classe) são úteis: o polígono destaca picos e a ogiva mostra percentis/medianas visualmente.
Como desenhar rapidamente na prova:
- No eixo horizontal coloque as classes com os limites
. - No eixo vertical coloque as frequências (0 a 8, por exemplo).
- Para cada classe, desenhe um retângulo com base igual à largura da classe (aqui 8 unidades) e altura igual à frequência da classe (ou densidade se tiver classes de larguras diferentes; neste caso as larguras são iguais, então altura = frequência).
- Para o polígono: marque os pontos
onde é o ponto médio da classe e a frequência, e una por segmentos retos (pode completar com pontos de frequência zero nas extremidades para fechar o polígono). - Para a ogiva: plote os pares
e una por segmentos.
No Passo 11 eu dou as coordenadas numéricas para o polígono e para a ogiva (úteis se você precisar desenhar sem calcular na hora).
Passo 4
Cálculo da média (explicação da fórmula e cálculo passo a passo).
Fórmula da média amostral (média aritmética): se os dados são
, a média é
Aqui
. Somei todos os valores (usei a lista ordenada para checar somas par a par) e obtive
Logo
Interpretação rápida:
é o valor médio de dureza das 30 peças.
Passo 5
Cálculo da mediana (passo a passo e explicação).
Definição: mediana é o valor que divide os dados ordenados em duas metades com mesma quantidade de observações. Para
par, a mediana é a média dos elementos nas posições
e
.
Aqui
(par), então a mediana é a média dos 15.º e 16.º valores da lista ordenada.
Da lista ordenada:
Da lista ordenada:
Logo
Passo 6
Moda (explicação e resultado).
Definição: moda é o valor que aparece com maior frequência. Para dados contínuos frequentemente não há valores repetidos exatos; então dizemos que não há moda ou que existe uma classe modal.
Nos dados originais não há valores exatamente repetidos (cada observação difere pelo menos pelos décimos), então não há uma moda única. As classes modais (mais frequentes) são
e
(ambas com
). Portanto:
Passo 7
Cálculo da variância e do desvio-padrão (com explicação das fórmulas e contas).
Decisão sobre o denominador: como estamos descrevendo a amostra de
peças, usei a variância amostral (estimador do desvio na amostra) com divisor
. Fórmula amostral:
ou, computacionalmente mais conveniente,
Já temos
e
. Calculei também
(soma dos quadrados de cada observação).
Aplicando a fórmula:
Portanto
O desvio-padrão amostral é
Interpretação curta:
mede a dispersão típica (na mesma unidade da dureza) em torno da média.
Passo 8
Cálculo dos quartis
e
(metodologia e resultado).
Procedimento adotado: para
par, divido os
dados em duas metades de
observações cada;
é a mediana da metade inferior (posições
a
) e
é a mediana da metade superior (posições
a
).
Metade inferior (posições
a
), a mediana dessa metade é a posição
dessa metade → valor na posição 8 do conjunto total:
Metade superior (posições
a
), a mediana dessa metade é a posição
da metade superior → posição
no conjunto total:
Intervalo interquartílico:
Passo 9
Esquema de cinco números (five-number summary) e determinação de possíveis outliers para o box-plot.
Cinco números:
Critério de outliers (regra 1,5·IQR):
Limite inferior:
.
Limite superior: .
Limite superior:
Como todos os dados estão entre
e
, nenhum valor ultrapassa esses limites; portanto não há outliers pelo critério
.
Whiskers do box-plot: vão até os valores mínimo e máximo observados (já que nenhum é outlier): whisker inferior
, whisker superior
.
Passo 10
Polígono de frequência e ogiva — coordenadas numéricas para desenhar (úteis para prova sem calculadora gráfica).
Polígono de frequência (usar pontos médios das classes e frequências):
pontos :
pontos
Se quiser “fechar” o polígono, adicione um ponto antes da primeira classe com frequência
no ponto médio anterior (por exemplo
) e após a última
.
Ogiva (usar limites superiores das classes e frequência acumulada até esse limite):
pontos :
pontos
Na prática ao desenhar a ogiva comece em
com
e vá ligando até
com
.
Passo 11
Construção do box-plot (descrição prática para a prova) e esquema (numérico).
Como desenhar:
- Desenhe um retângulo (box) com bordas em
e . - Trace uma linha vertical dentro do box na mediana
. - Desenhe os “whiskers” do box até os extremos não-outliers: whisker inferior em
e whisker superior em . - Não marque outliers (não existem).
Esquema numérico (cinco números):
Passo 12
Interpretação das medidas (item (d)) — explicando o que cada medida diz sobre os dados, de forma didática e amigável.
- Média
: é o valor central se “distribuirmos igualmente” a dureza entre as peças; sensível a valores extremos (por exemplo puxa a média para cima). - Mediana
: o valor que divide o conjunto em duas metades; é robusta a outliers. Aqui diz que metade das peças tem dureza menor ou igual a e metade maior ou igual. - Moda: não há valor repetido exato (sem moda única). Em termos de classe, as classes modais são
e (mais observações). - Variância
e desvio-padrão : medem dispersão. O desvio-padrão, sendo , indica que a maioria das durezas está a cerca de unidades da média. Em termos relativos, o coeficiente de variação é aproximadamente (ou ), ou seja, variabilidade moderada. - Quartis
e : indicam que das observações estão entre e . A IQR mostra a dispersão do meio dos dados. - Ausência de outliers segundo o critério
: não foram encontrados valores extremos fora dos limites , então os extremos observados parecem plausíveis.
Passo 13
Interpretação do box-plot (item (g)) — o que ele revela sobre a distribuição.
Do box-plot construído (com cinco números dados):
- Simetria/assimetria: o box é levemente deslocado; a distância mediana–
é e . Isso indica leve assimetria à direita na cauda superior (o whisker superior, , é mais distante de do que o whisker inferior de ), ou seja, presença de cauda direita (valores maiores mais dispersos). - Ausência de outliers: confirmada pelo critério
, portanto whiskers vão até o mínimo e máximo observados. - Concentração: metade central dos dados (box) está entre
e , com mediana em .
Passo 14
Comentários finais e recomendações (item (h)) — síntese amigável e dicas para a prova.
Resumo prático dos resultados: a dureza média é cerca de
, a mediana
; há dispersão moderada (
); o conjunto não tem outliers segundo o critério usual; a distribuição é aproximadamente simétrica com leve cauda direita; as classes
e
contêm mais observações.
Dicas para a prova (meu toque de colega):
- Se pedirem tabela de frequência, justifique o número de classes (Sturges ou outro critério) e mostre os limites claramente.
- Para cálculos rápidos de média e variância, use soma dos valores e soma dos quadrados (fórmula computacional).
- Para quartis, explique qual convenção você adotou (dividir a amostra ao meio quando
é par) — sempre diga isso na prova para ganhar pontos. - Se te pedirem gráficos, desenhe histograma + polígono + ogiva: juntos dão uma visão clara da forma e dos percentis.
Resposta
(a) Tabela de frequências:
.
(b) Representação gráfica mais adequada: histograma (com as mesmas classes acima); polígonos e ogiva como complementos.
(c) Estatísticas: média ; mediana
; moda: sem valor modal único (classes modais
e
); variância amostral
; desvio-padrão
;
;
.
(d) Interpretações resumidas: média indica o valor médio ; mediana mostra metade dos dados ≤
; ausência de moda única;
mostra dispersão típica ~
unidades;
mostram que
dos dados está entre
e
; sem outliers pelo critério
.
(e) Polígono de frequência (pontos): . Ogiva (pontos):
.
(f) Esquema de cinco números: . Box-plot: box entre
e
, mediana em
, whiskers em
e
.
(g) Interpretação do box-plot: leve assimetria à direita (cauda superior mais longa), concentração central entre e
, sem outliers detectados.
(h) Comentário final: a amostra apresenta durezas centradas ~ , variabilidade moderada (CV ≈
), duas classes com maior frequência; não há outliers segundo o critério usual; os gráficos (histograma + polígono + ogiva + box-plot) confirmam forma aproximadamente simétrica com leve tendência de cauda à direita.
(b) Representação gráfica mais adequada: histograma (com as mesmas classes acima); polígonos e ogiva como complementos.
(c) Estatísticas: média
(d) Interpretações resumidas: média indica o valor médio
(e) Polígono de frequência (pontos):
(f) Esquema de cinco números:
(g) Interpretação do box-plot: leve assimetria à direita (cauda superior mais longa), concentração central entre
(h) Comentário final: a amostra apresenta durezas centradas ~