Os dados abaixo referem-se à dureza de 30 peças de alumínio (Tome cuidado com o tipo de variável que está sendo estudada)
53.0 70.2 84.3 69.5 77.8 87.5
53.4 58.7 75.1 63.4 79.3 80.8
95.4 51.4 74.1 65.5 85.1 81.6
59.4 61.3 66.5 72.6 55.3 68.5
72.3 59.5 53.5 70.3 50.2 50.7
(a) Faça uma tabela de distribuição de frequências.
(b) Faça a representação gráfica mais adequada para a distribuição de frequências.
(c) Calcule média, mediana, moda, variância, desvio padrão, quartil 1 e quartil 3.
(d) Interprete cada uma das medidas encontradas no item anterior.
(e) Apresente o polígono de frequência e a ogiva dos dados.
(f) Faça um esquema de cinco números, um box plot.
(g) Interprete o box-plot.
(h) Comente os resultados.

Passo 1

O enunciado pede várias análises descritivas dos dados de dureza de 30 peças de alumínio. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas do enunciado:
(a) Fazer uma tabela de distribuição de frequências.
(b) Fazer a representação gráfica mais adequada para a distribuição de frequências.
(c) Calcular média, mediana, moda, variância, desvio padrão, quartil 1 e quartil 3.
(d) Interpretar cada uma das medidas calculadas.
(e) Apresentar o polígono de frequência e a ogiva dos dados.
(f) Fazer um esquema de cinco números e um box plot.
(g) Interpretar o box-plot.
(h) Comentar os resultados.
Dados (fornecidos na tabela do enunciado), reorganizados em ordem crescente (usei os dados originais e ordenei para facilitar a mediana e os quartis):
\begin{array}{llllllllll} 50,2 & 50,7 & 51,4 & 53,0 & 53,4 & 53,5 & 55,3 & 58,7 & 59,4 & 59,5\\\\ 61,3 & 63,4 & 65,5 & 66,5 & 68,5 & 69,5 & 70,2 & 70,3 & 72,3 & 72,6\\\\ 74,1 & 75,1 & 77,8 & 79,3 & 80,8 & 81,6 & 84,3 & 85,1 & 87,5 & 95,4 \end{array}
Informações numéricas relevantes (visão rápida):
\min = 50,2,\qquad \max = 95,4,\qquad n=30.
Observação sobre o tipo de variável: a dureza é uma variável quantitativa contínua (medida em unidades que aceitam valores não-inteiros).
A resolução prática começa no próximo passo.

Passo 2

Construção da tabela de distribuição de frequências (escolha das classes e contagem).
Decisão sobre número de classes: uso da regra de Sturges (aproximada) dá k\approx 1+\log_2 30\approx 6. Optei por 6 classes de largura igual aproximada para simplificar cálculos na prova.
Definição das classes (intervalos left-inclusive, right-exclusive, exceto a última que inclui o extremo superior):
[50,58),\\ [58,66),\\ [66,74),\\ [74,82),\\ [82,90),\\ [90,98).
Os pontos de corte cobrem todo o intervalo [50{,}2,95{,}4].
Contagem de observações por classe (fácil de verificar com a lista ordenada):
  • Classe [50,58): valores (50,2,50,7,51,4,53,0,53,4,53,5,55,3) → frequência f=7.
  • Classe [58,66): valores (58,7,59,4,59,5,61,3,63,4,65,5) f=6.
  • Classe [66,74): valores (66,5,68,5,69,5,70,2,70,3,72,3,72,6) f=7.
  • Classe [74,82): valores (74,1,75,1,77,8,79,3,80,8,81,6) f=6.
  • Classe [82,90): valores (84,3,85,1,87,5) f=3.
  • Classe [90,98): valores (95,4) f=1.
Tabela de frequências (apresentação completa):
\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Classe} & \text{Limites} & \text{Ponto médio }(m) & f & \text{Freq. acumulada}\\hline 1 & [50,58) & 54 & 7 & 7\\\\ 2 & [58,66) & 62 & 6 & 13\\\\ 3 & [66,74) & 70 & 7 & 20\\\\ 4 & [74,82) & 78 & 6 & 26\\\\ 5 & [82,90) & 86 & 3 & 29\\\\ 6 & [90,98) & 94 & 1 & 30 \end{array}é
Freqüências relativas (opcionais para a tabela): cada f dividido por n=30: \tfrac{7}{30},\tfrac{6}{30},\tfrac{7}{30},\tfrac{6}{30},\tfrac{3}{30},\tfrac{1}{30}.

Passo 3

Que gráfico é mais adequado e como construí-lo (explicação didática).
  • Para variáveis quantitativas contínuas a representação mais adequada é o histograma (barras contínuas com altura proporcional à frequência/ densidade). O histograma mostra forma, dispersão e presença de caudas.
  • Complementares: polígono de frequência (liga os pontos formados pelos pontos médios das classes e suas frequências) e ogiva (gráfico da frequência acumulada em função de limites de classe) são úteis: o polígono destaca picos e a ogiva mostra percentis/medianas visualmente.
Como desenhar rapidamente na prova:
  1. No eixo horizontal coloque as classes com os limites [50,58),[58,66),\dots.
  2. No eixo vertical coloque as frequências (0 a 8, por exemplo).
  3. Para cada classe, desenhe um retângulo com base igual à largura da classe (aqui 8 unidades) e altura igual à frequência da classe (ou densidade se tiver classes de larguras diferentes; neste caso as larguras são iguais, então altura = frequência).
  4. Para o polígono: marque os pontos (m,f) onde m é o ponto médio da classe e f a frequência, e una por segmentos retos (pode completar com pontos de frequência zero nas extremidades para fechar o polígono).
  5. Para a ogiva: plote os pares (\text{limite superior da classe},\\ \text{freq. acumulada}) e una por segmentos.
No Passo 11 eu dou as coordenadas numéricas para o polígono e para a ogiva (úteis se você precisar desenhar sem calcular na hora).

Passo 4

Cálculo da média (explicação da fórmula e cálculo passo a passo).
Fórmula da média amostral (média aritmética): se os dados são x_1,\dots,x_n, a média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Aqui n=30. Somei todos os valores (usei a lista ordenada para checar somas par a par) e obtive
\sum_{i=1}^{30} x_i = 2046{,}2.
Logo
\bar{x}=\frac{2046{,}2}{30}=68{,}206\ldots\approx 68{,}21.
Interpretação rápida: \bar{x} é o valor médio de dureza das 30 peças.

Passo 5

Cálculo da mediana (passo a passo e explicação).
Definição: mediana é o valor que divide os dados ordenados em duas metades com mesma quantidade de observações. Para n par, a mediana é a média dos elementos nas posições n/2 e n/2+1.
Aqui n=30 (par), então a mediana é a média dos 15.º e 16.º valores da lista ordenada.
Da lista ordenada:
x_{15}=68{,}5,\qquad x_{16}=69{,}5.
Logo
\text{mediana} = \frac{68{,}5+69{,}5}{2}=69{,}0.

Passo 6

Moda (explicação e resultado).
Definição: moda é o valor que aparece com maior frequência. Para dados contínuos frequentemente não há valores repetidos exatos; então dizemos que não há moda ou que existe uma classe modal.
Nos dados originais não há valores exatamente repetidos (cada observação difere pelo menos pelos décimos), então não há uma moda única. As classes modais (mais frequentes) são [50,58) e [66,74) (ambas com f=7). Portanto:
\text{moda: não há valor modal único; classes modais }[50,58)\text{ e }[66,74).ãáú

Passo 7

Cálculo da variância e do desvio-padrão (com explicação das fórmulas e contas).
Decisão sobre o denominador: como estamos descrevendo a amostra de 30 peças, usei a variância amostral (estimador do desvio na amostra) com divisor n-1. Fórmula amostral:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2
ou, computacionalmente mais conveniente,
s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2\right).
Já temos \sum x_i = 2046{,}2 e \bar{x}\approx 68{,}206666\ldots. Calculei também \sum x_i^2 = 143973{,}38 (soma dos quadrados de cada observação).
Aplicando a fórmula:
n\bar{x}^2 = 30\times(68{,}206666\ldots)^2 \approx 139564{,}4813.
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 \approx 143973{,}38 - 139564{,}4813 = 4408{,}8987.
Portanto
s^2 \approx \frac{4408{,}8987}{29}\approx 152{,}03099\approx 152{,}03.
O desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{152{,}03099}\approx 12{,}33.
Interpretação curta: s mede a dispersão típica (na mesma unidade da dureza) em torno da média.

Passo 8

Cálculo dos quartis Q_1 e Q_3 (metodologia e resultado).
Procedimento adotado: para n par, divido os 30 dados em duas metades de 15 observações cada; Q_1 é a mediana da metade inferior (posições 1 a 15) e Q_3 é a mediana da metade superior (posições 16 a 30).
Metade inferior (posições 1 a 15), a mediana dessa metade é a posição (15+1)/2=8 dessa metade → valor na posição 8 do conjunto total:
Q_1 = x_8 = 58{,}7.
Metade superior (posições 16 a 30), a mediana dessa metade é a posição (15+1)/2=8 da metade superior → posição 15+8=23 no conjunto total:
Q_3 = x_{23} = 77{,}8.
Intervalo interquartílico:
\text{IQR} = Q_3-Q_1 = 77{,}8 - 58{,}7 = 19{,}1.

Passo 9

Esquema de cinco números (five-number summary) e determinação de possíveis outliers para o box-plot.
Cinco números:
\min=50{,}2,\quad Q_1=58{,}7,\quad \text{mediana}=69{,}0,\quad Q_3=77{,}8,\quad \max=95{,}4.
Critério de outliers (regra 1,5·IQR):
1{,}5\cdot\text{IQR}=1{,}5\times19{,}1=28{,}65.
Limite inferior: Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}=58{,}7-28{,}65=30{,}05.
Limite superior: Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}=77{,}8+28{,}65=106{,}45.
Como todos os dados estão entre 50{,}2 e 95{,}4, nenhum valor ultrapassa esses limites; portanto não há outliers pelo critério 1{,}5\cdot\text{IQR}.
Whiskers do box-plot: vão até os valores mínimo e máximo observados (já que nenhum é outlier): whisker inferior =50{,}2, whisker superior =95{,}4.

Passo 10

Polígono de frequência e ogiva — coordenadas numéricas para desenhar (úteis para prova sem calculadora gráfica).
Polígono de frequência (usar pontos médios das classes e frequências):
pontos (m,f):
(54,7),\\ (62,6),\\ (70,7),\\ (78,6),\\ (86,3),\\ (94,1).
Se quiser “fechar” o polígono, adicione um ponto antes da primeira classe com frequência 0 no ponto médio anterior (por exemplo (46,0)) e após a última (98,0).
Ogiva (usar limites superiores das classes e frequência acumulada até esse limite):
pontos (\text{limite superior},\\ \text{freq. acumulada}):
(58,7),\\ (66,13),\\ (74,20),\\ (82,26),\\ (90,29),\\ (98,30).
Na prática ao desenhar a ogiva comece em x=50 com F=0 e vá ligando até x=98 com F=30.

Passo 11

Construção do box-plot (descrição prática para a prova) e esquema (numérico).
Como desenhar:
  1. Desenhe um retângulo (box) com bordas em Q_1=58{,}7 e Q_3=77{,}8.
  2. Trace uma linha vertical dentro do box na mediana 69{,}0.
  3. Desenhe os “whiskers” do box até os extremos não-outliers: whisker inferior em 50{,}2 e whisker superior em 95{,}4.
  4. Não marque outliers (não existem).
Esquema numérico (cinco números):
50{,}2,\quad 58{,}7,\quad 69{,}0,\quad 77{,}8,\quad 95{,}4.

Passo 12

Interpretação das medidas (item (d)) — explicando o que cada medida diz sobre os dados, de forma didática e amigável.
  • Média \bar{x}\approx 68{,}21: é o valor central se “distribuirmos igualmente” a dureza entre as peças; sensível a valores extremos (por exemplo 95{,}4 puxa a média para cima).
  • Mediana 69{,}0: o valor que divide o conjunto em duas metades; é robusta a outliers. Aqui diz que metade das peças tem dureza menor ou igual a 69{,}0 e metade maior ou igual.
  • Moda: não há valor repetido exato (sem moda única). Em termos de classe, as classes modais são [50,58) e [66,74) (mais observações).
  • Variância s^2\approx 152{,}03 e desvio-padrão s\approx 12{,}33: medem dispersão. O desvio-padrão, sendo 12{,}33, indica que a maioria das durezas está a cerca de 12 unidades da média. Em termos relativos, o coeficiente de variação é aproximadamente CV=\dfrac{12{,}33}{68{,}21}\approx 0{,}18 (ou 18\%), ou seja, variabilidade moderada.
  • Quartis Q_1=58{,}7 e Q_3=77{,}8: indicam que 50\% das observações estão entre 58{,}7 e 77{,}8. A IQR =19{,}1 mostra a dispersão do meio 50\% dos dados.
  • Ausência de outliers segundo o critério 1{,}5\cdot\text{IQR}: não foram encontrados valores extremos fora dos limites [30{,}05,106{,}45], então os extremos observados parecem plausíveis.

Passo 13

Interpretação do box-plot (item (g)) — o que ele revela sobre a distribuição.
Do box-plot construído (com cinco números dados):
  • Simetria/assimetria: o box é levemente deslocado; a distância mediana– Q_1 é 69{,}0-58{,}7=10{,}3 e Q_3-\text{mediana}=77{,}8-69{,}0=8{,}8. Isso indica leve assimetria à direita na cauda superior (o whisker superior, 95{,}4, é mais distante de Q_3 do que o whisker inferior de Q_1), ou seja, presença de cauda direita (valores maiores mais dispersos).
  • Ausência de outliers: confirmada pelo critério 1{,}5\cdot\text{IQR}, portanto whiskers vão até o mínimo e máximo observados.
  • Concentração: metade central dos dados (box) está entre 58{,}7 e 77{,}8, com mediana em 69{,}0.

Passo 14

Comentários finais e recomendações (item (h)) — síntese amigável e dicas para a prova.
Resumo prático dos resultados: a dureza média é cerca de 68{,}2, a mediana 69{,}0; há dispersão moderada ( s\approx12{,}33); o conjunto não tem outliers segundo o critério usual; a distribuição é aproximadamente simétrica com leve cauda direita; as classes [50,58) e [66,74) contêm mais observações.
Dicas para a prova (meu toque de colega):
  • Se pedirem tabela de frequência, justifique o número de classes (Sturges ou outro critério) e mostre os limites claramente.
  • Para cálculos rápidos de média e variância, use soma dos valores e soma dos quadrados (fórmula computacional).
  • Para quartis, explique qual convenção você adotou (dividir a amostra ao meio quando n é par) — sempre diga isso na prova para ganhar pontos.
  • Se te pedirem gráficos, desenhe histograma + polígono + ogiva: juntos dão uma visão clara da forma e dos percentis.

Resposta

(a) Tabela de frequências: [50,58):f=7,\\ [58,66):f=6,\\ [66,74):f=7,\\ [74,82):f=6,\\ [82,90):f=3,\\ [90,98):f=1.
(b) Representação gráfica mais adequada: histograma (com as mesmas classes acima); polígonos e ogiva como complementos.
(c) Estatísticas: média \bar{x}\approx 68{,}21; mediana =69{,}0; moda: sem valor modal único (classes modais [50,58) e [66,74)); variância amostral s^2\approx 152{,}03; desvio-padrão s\approx 12{,}33; Q_1=58{,}7; Q_3=77{,}8.
(d) Interpretações resumidas: média indica o valor médio 68{,}2; mediana mostra metade dos dados ≤ 69{,}0; ausência de moda única; s mostra dispersão típica ~ 12 unidades; Q_1,Q_3 mostram que 50\% dos dados está entre 58{,}7 e 77{,}8; sem outliers pelo critério 1{,}5\cdot\text{IQR}.
(e) Polígono de frequência (pontos): (54,7),(62,6),(70,7),(78,6),(86,3),(94,1). Ogiva (pontos): (58,7,7),(66,13),(74,20),(82,26),(90,29),(98,30).
(f) Esquema de cinco números: 50{,}2,\\\ 58{,}7,\\\ 69{,}0,\\\ 77{,}8,\\\ 95{,}4. Box-plot: box entre 58{,}7 e 77{,}8, mediana em 69{,}0, whiskers em 50{,}2 e 95{,}4.
(g) Interpretação do box-plot: leve assimetria à direita (cauda superior mais longa), concentração central entre 58{,}7 e 77{,}8, sem outliers detectados.
(h) Comentário final: a amostra apresenta durezas centradas ~ 68, variabilidade moderada (CV ≈ 18\%), duas classes com maior frequência; não há outliers segundo o critério usual; os gráficos (histograma + polígono + ogiva + box-plot) confirmam forma aproximadamente simétrica com leve tendência de cauda à direita.

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