Um pesquisador quer estudar o tempo (em minutos) que pacientes aguardam para receber atendimento em um ambulatório universitário. Foram anotados n=52 tempos de espera (em minutos) em vários dias:
5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,25,25,26,27,28,28,29,30,30,31,32,33,
34,35,36,36,37,38,39,40,42,43,44,45,46,47,48,49,50,52,53,55,31,23.
a) Construa a tabela de frequência.
b) Calcule a média e a mediana.
c) Calcule a moda.
d) Calcule a variância e o desvio padrão.
e) Determine Q_{1}, Q_{3} e identifique possíveis outliers.
f) Calcule D_{2}\left(2^{\mathrm{O}}\right. decil ) e P_{75} (percentil 75 \% ) e explique seu significado no contexto do atendimento.
g) Construa o histograma e o box-plot a partir da tabela.
h) De acordo com os dados, em até quantos minutos é possível garantir que pelo menos 60 \% dos atendimentos tenham sido realizados?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra com n=52 tempos de espera (em minutos). As tarefas pedidas são:
  • (a) construir a tabela de frequência;
  • (b) calcular a média e a mediana;
  • (c) calcular a(s) moda(s);
  • (d) calcular a variância e o desvio padrão;
  • (e) determinar Q_{1}, Q_{3} e identificar possíveis outliers;
  • (f) calcular D_{2} (2.º decil) e P_{75} (percentil 75\%) e interpretar;
  • (g) construir o histograma e o box-plot a partir da tabela;
  • (h) dizer em até quantos minutos é possível garantir que pelo menos 60\% dos atendimentos tenham sido realizados.
Informações relevantes dadas (dados originais): os 52 tempos (em minutos)
5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,25,25,26,27,28,28,29,30,30,31,32,33,34,35,36,36,37,38,39,40,42,43,44,45,46,47,48,49,50,52,53,55,31,23.
Eu não vou resolver nada neste passo; só organizei o que o problema pede e quais dados temos.

Passo 2

Organizar e agrupar os dados para a tabela de frequência.
Primeiro, ordenei mentalmente os dados (lista ordenada com índices 1 a 52):
\begin{array}{l} 1:5,\;2:6,\;3:7,\;4:8,\;5:9,\;6:10,\;7:12,\;8:13,\;9:14,\;10:15,\\\\ 11:16,\;12:17,\;13:18,\;14:19,\;15:20,\;16:21,\;17:22,\;18:23,\;19:23,\\\\ 20:25,\;21:25,\;22:26,\;23:27,\;24:28,\;25:28,\;26:29,\;27:30,\\\\ 28:30,\;29:31,\;30:31,\;31:32,\;32:33,\;33:34,\;34:35,\;35:36,\\\\ 36:36,\;37:37,\;38:38,\;39:39,\;40:40,\;41:42,\;42:43,\;43:44,\\\\ 44:45,\;45:46,\;46:47,\;47:48,\;48:49,\;49:50,\;50:52,\;51:53,\;52:55. \end{array}
Escolhi classes inteiras práticas (largura compatível com o alcance dos dados) para a tabela e para o histograma:
[5,11],\;[12,18],\;[19,25],\;[26,32],\;[33,39],\;[40,46],\;[47,53],\;[54,60].
Agora conto quantas observações caem em cada classe (contagem feita a partir da lista ordenada):
  • [5,11]: 6 observações ( 5,6,7,8,9,10)
  • [12,18]: 7 observações ( 12,13,14,15,16,17,18)
  • [19,25]: 8 observações ( 19,20,21,22,23,23,25,25)
  • [26,32]: 10 observações ( 26,27,28,28,29,30,30,31,31,32)
  • [33,39]: 8 observações ( 33,34,35,36,36,37,38,39)
  • [40,46]: 6 observações ( 40,42,43,44,45,46)
  • [47,53]: 6 observações ( 47,48,49,50,52,53)
  • [54,60]: 1 observação ( 55)
Frequências relativas f_{rel}=\dfrac{f}{52} e acumuladas F_{ac}:
\begin{array}{l} \text{Classe }[5,11]:\; f=6,\; f_{rel}\approx 0,115,\; F_{ac}=6,\\\ \text{Classe }[12,18]:\; f=7,\; f_{rel}\approx 0,135,\; F_{ac}=13,\\\ \text{Classe }[19,25]:\; f=8,\; f_{rel}\approx 0,154,\; F_{ac}=21,\\\ \text{Classe }[26,32]:\; f=10,\; f_{rel}\approx 0,192,\; F_{ac}=31,\\\ \text{Classe }[33,39]:\; f=8,\; f_{rel}\approx 0,154,\; F_{ac}=39,\\\ \text{Classe }[40,46]:\; f=6,\; f_{rel}\approx 0,115,\; F_{ac}=45,\\\ \text{Classe }[47,53]:\; f=6,\; f_{rel}\approx 0,115,\; F_{ac}=51,\\\ \text{Classe }[54,60]:\; f=1,\; f_{rel}\approx 0,019,\; F_{ac}=52. \end{array}
Explicação didática curta: a tabela de frequência agrupa os valores em classes (intervalos) e conta quantas observações caem em cada classe. A frequência relativa é a fração do total n e a acumulada soma progressiva das frequências absolutas (útil para percentis e histogramas acumulados).

Passo 3

Cálculo da média aritmética.
Fórmula: a média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i},
onde n é o número de observações e x_{i} cada tempo.
Calculei a soma das observações:
\sum_{i=1}^{52} x_{i}=1522.
Logo
\bar{x}=\frac{1522}{52}=29,26923077\approx 29,27\\ \text{minutos}.
A explicação prática: some todos os tempos e divida por n. Isso dá o tempo médio de espera.

Passo 4

Cálculo da mediana.
Para n=52 (par), a mediana é a média entre as observações nas posições \dfrac{n}{2}=26 e \dfrac{n}{2}+1=27.
Da lista ordenada:
x_{26}=29,\quad x_{27}=30,
então
\text{mediana}=\frac{29+30}{2}=29,5\\ \text{minutos}.
Interpretação: metade dos pacientes espera até 29{,}5 minutos e metade espera mais.

Passo 5

Cálculo da moda.
Moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência absoluta.
Contagens por valor simples mostram várias repetições, nenhuma com frequência maior que 2. Valores com frequência 2 são:
23,\;25,\;28,\;30,\;31,\;36.
Portanto a amostra é multimodal: as modas são 23,25,28,30,31,36.
Explicação: quando vários valores empataram na maior frequência, dizemos que a distribuição é multimodal.

Passo 6

Cálculo da variância amostral e do desvio padrão amostral.
Fórmula (amostral, correção de Bessel):
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2} =\frac{\sum x_{i}^{2}-\dfrac{(\sum x_{i})^{2}}{n}}{n-1}.
Usei \sum x_{i}^{2}=54150 e \sum x_{i}=1522; então
\sum x_{i}^{2}-\frac{(\sum x_{i})^{2}}{n} =54150-\frac{1522^{2}}{52}=9602{,}23076923\\ (\text{aprox.}).
Dividindo por n-1=51:
s^{2}\approx \frac{9602{,}23076923}{51}\approx 188{,}279\\ (\text{minutos}^2).
O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}\approx \sqrt{188{,}279}\approx 13{,}72\\ \text{minutos}.
Explicação didática: a variância mede a dispersão média dos dados em torno da média; o desvio padrão é a raiz quadrada da variância e tem as mesmas unidades dos dados (minutos), facilitando interpretação.

Passo 7

Cálculo de Q_{1}, Q_{3} e identificação de outliers (método de Tukey).
Para n par, divido a amostra em duas metades: primeiras 26 observações (1 a 26) e últimas 26 (27 a 52).
  • Q_{1} é a mediana da metade inferior: média entre as posições 13 e 14.
    Da lista: x_{13}=18,\; x_{14}=19, logo Q_{1}=\frac{18+19}{2}=18{,}5.
  • Q_{3} é a mediana da metade superior: média entre as posições 39 e 40.
    Da lista: x_{39}=39,\; x_{40}=40, logo Q_{3}=\frac{39+40}{2}=39{,}5.
  • Intervalo interquartílico: \text{IQR}=Q_{3}-Q_{1}=39{,}5-18{,}5=21.
Critério de Tukey para outliers:
  • limite inferior (fence inferior): Q_{1}-1{,}5\times\text{IQR}=18{,}5-1{,}5\cdot 21=18{,}5-31{,}5=-13.
  • limite superior (fence superior): Q_{3}+1{,}5\times\text{IQR}=39{,}5+31{,}5=71.
Como todos os dados estão entre 5 e 55, não há observações abaixo de -13 nem acima de 71. Logo, segundo o critério de Tukey, não há outliers na amostra.
Explicação: usamos medianas das metades para obter quartis; o IQR mede a dispersão central; valores além de 1{,}5\times IQR são considerados atípicos (outliers).

Passo 8

Cálculo de D_{2} (2.º decil, ou 20\%) e P_{75} (percentil 75\%), com explicação.
Método de interpolação (comum): posição do percentil p\% é L = \dfrac{p}{100}(n+1). Se L não for inteiro, interpola entre as observações adjacentes.
  • Para D_{2} ( p=20\%):
    L_{D_{2}}=0{,}20\cdot(52+1)=0{,}20\cdot 53=10{,}6.
    Isso fica entre a 10ª e a 11ª observação: x_{10}=15,\; x_{11}=16.
    Interpolando:
    D_{2}=x_{10}+0{,}6\,(x_{11}-x_{10})=15+0{,}6(16-15)=15{,}6\\ \text{min}.
    Interpretação: aproximadamente 20\% dos pacientes (1 em cada 5) esperaram até cerca de 15{,}6 minutos.
  • Para P_{75} ( p=75\%):
    L_{75}=0{,}75\cdot 53=39{,}75.
    Fica entre a 39ª e 40ª observação: x_{39}=39,\; x_{40}=40.
    Interpolando:
    P_{75}=39+0{,}75(40-39)=39{,}75\\ \text{min}.
    Interpretação: 75\% dos pacientes esperaram no máximo cerca de 39{,}75 minutos.
Observação didática: essa é uma forma prática de obter percentis por interpolação linear entre observações ordenadas.

Passo 9

Construção do histograma e do box-plot a partir da tabela (instruções numéricas para desenhar).
Histograma (usando as classes do Passo 2):
  • Barra para [5,11] com altura proporcional a f=6 (ou densidade 6/(\text{largura}\times 52) se quiser densidade).
  • Barra para [12,18] com f=7.
  • Barra para [19,25] com f=8.
  • Barra para [26,32] com f=10.
  • Barra para [33,39] com f=8.
  • Barra para [40,46] com f=6.
  • Barra para [47,53] com f=6.
  • Barra para [54,60] com f=1.
Para desenhar: no eixo horizontal coloque os intervalos (min 5 a max 60), no eixo vertical coloque frequências absolutas (0 a 10). A maior frequência é 10 (classe [26,32]). O histograma mostrará uma concentração central entre cerca de 20 e 40 minutos, com cauda direita leve até 55.
Box-plot (usar estatísticas):
  • mínimo =5,
  • Q_{1}=18{,}5,
  • mediana =29{,}5,
  • Q_{3}=39{,}5,
  • máximo =55,
  • sem outliers (segundo Tukey).
Para desenhar o box-plot: caixa de 18{,}5 a 39{,}5 com linha mediana em 29{,}5; bigodes até 5 (mín) e 55 (máx). Isso resume graficamente a dispersão.

Passo 10

Resposta à pergunta (h): “Em até quantos minutos é possível garantir que pelo menos 60\% dos atendimentos tenham sido realizados?”
Calculei o percentil 60\% (posição L=0{,}60\cdot (52+1)=31{,}8, entre a 31ª e a 32ª observação).
Da lista: x_{31}=32,\; x_{32}=33.
Interpolando:
P_{60}=32+0{,}8(33-32)=32{,}8\\ \text{min}.
Interpretação prática:
  • O 60\% das esperas fica abaixo de aproximadamente 32{,}8 minutos.
  • Como garantia prática (usando tempos observados), se você disser “até 33 minutos” então pelo menos 32 observações de 52 (ou seja 61{,}54\%) estão dentro desse tempo, portanto é seguro afirmar que pelo menos 60\% dos atendimentos foram realizados em até 33 minutos.
Explicação: a interpolação dá 32{,}8; ao usar um tempo observado e inteiro, 33 minutos garante concretamente pelo menos 60\%.

Resposta

(a) Tabela de frequência (classes, f, f_{rel}, F_{ac}):
[5,11]: f=6,\; f_{rel}\approx 0,115,\; F_{ac}=6
[12,18]: f=7,\; f_{rel}\approx 0,135,\; F_{ac}=13
[19,25]: f=8,\; f_{rel}\approx 0,154,\; F_{ac}=21
[26,32]: f=10,\; f_{rel}\approx 0,192,\; F_{ac}=31
[33,39]: f=8,\; f_{rel}\approx 0,154,\; F_{ac}=39
[40,46]: f=6,\; f_{rel}\approx 0,115,\; F_{ac}=45
[47,53]: f=6,\; f_{rel}\approx 0,115,\; F_{ac}=51
[54,60]: f=1,\; f_{rel}\approx 0,019,\; F_{ac}=52
(b) Média \bar{x}\approx 29{,}27 minutos; Mediana =29{,}5 minutos.
(c) Modas: 23,\;25,\;28,\;30,\;31,\;36 (multimodal, cada uma com freqüência 2).
(d) Variância amostral s^{2}\approx 188{,}279\\ \text{min}^{2}; desvio padrão amostral s\approx 13{,}72 minutos.
(e) Q_{1}=18{,}5,\; Q_{3}=39{,}5. IQR =21. Limites de Tukey: inferior -13, superior 71. Não há outliers (todos os dados estão entre 5 e 55).
(f) D_{2} (2.º decil) \approx 15{,}6 minutos. P_{75}\approx 39{,}75 minutos. Interpretação: cerca de 20\% dos pacientes esperaram até 15{,}6 min; 75\% dos pacientes esperaram até 39{,}75 min.
(g) Histograma: barras por classe conforme (a) com alturas 6,7,8,10,8,6,6,1 (eixo x cobrindo 5 a 60 min). Box-plot: mínimo 5, Q_{1}=18{,}5, mediana 29{,}5, Q_{3}=39{,}5, máximo 55; sem outliers.
(h) Percentil 60\% \approx 32{,}8 minutos. Para garantir na prática que pelo menos 60\% dos atendimentos foram realizados, diga “até 33 minutos” (porque 33 min cobre pelo menos 61{,}54\% da amostra).

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