Um pesquisador quer estudar o tempo (em minutos) que pacientes aguardam para receber atendimento em um ambulatório universitário. Foram anotados
tempos de espera (em minutos) em vários dias:
,
.
a) Construa a tabela de frequência.
b) Calcule a média e a mediana.
c) Calcule a moda.
d) Calcule a variância e o desvio padrão.
e) Determine
e identifique possíveis outliers.
f) Calcule
decil
e
(percentil
) e explique seu significado no contexto do atendimento.
g) Construa o histograma e o box-plot a partir da tabela.
h) De acordo com os dados, em até quantos minutos é possível garantir que pelo menos
dos atendimentos tenham sido realizados?
|
|
|
|
b) Calcule a média e a mediana.
c) Calcule a moda.
d) Calcule a variância e o desvio padrão.
e) Determine
f) Calcule
g) Construa o histograma e o box-plot a partir da tabela.
h) De acordo com os dados, em até quantos minutos é possível garantir que pelo menos
Passo 1
O enunciado dá uma amostra com
tempos de espera (em minutos). As tarefas pedidas são:
- (a) construir a tabela de frequência;
- (b) calcular a média e a mediana;
- (c) calcular a(s) moda(s);
- (d) calcular a variância e o desvio padrão;
- (e) determinar
, e identificar possíveis outliers; - (f) calcular
(2.º decil) e (percentil ) e interpretar; - (g) construir o histograma e o box-plot a partir da tabela;
- (h) dizer em até quantos minutos é possível garantir que pelo menos
dos atendimentos tenham sido realizados.
Informações relevantes dadas (dados originais): os
tempos (em minutos)
Eu não vou resolver nada neste passo; só organizei o que o problema pede e quais dados temos.
Passo 2
Organizar e agrupar os dados para a tabela de frequência.
Primeiro, ordenei mentalmente os dados (lista ordenada com índices
a
):
Escolhi classes inteiras práticas (largura compatível com o alcance dos dados) para a tabela e para o histograma:
.
Agora conto quantas observações caem em cada classe (contagem feita a partir da lista ordenada):
-
: observações ( ) -
: observações ( ) -
: observações ( ) -
: observações ( ) -
: observações ( ) -
: observações ( ) -
: observações ( ) -
: observação ( )
Frequências relativas
e acumuladas
:
Explicação didática curta: a tabela de frequência agrupa os valores em classes (intervalos) e conta quantas observações caem em cada classe. A frequência relativa é a fração do total
e a acumulada soma progressiva das frequências absolutas (útil para percentis e histogramas acumulados).
Passo 3
Cálculo da média aritmética.
Fórmula: a média amostral é
onde
é o número de observações e
cada tempo.
Calculei a soma das observações:
Logo
A explicação prática: some todos os tempos e divida por
. Isso dá o tempo médio de espera.
Passo 4
Cálculo da mediana.
Para
(par), a mediana é a média entre as observações nas posições
e
.
Da lista ordenada:
então
Interpretação: metade dos pacientes espera até
minutos e metade espera mais.
Passo 5
Cálculo da moda.
Moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência absoluta.
Contagens por valor simples mostram várias repetições, nenhuma com frequência maior que
. Valores com frequência
são:
Portanto a amostra é multimodal: as modas são
.
Explicação: quando vários valores empataram na maior frequência, dizemos que a distribuição é multimodal.
Passo 6
Cálculo da variância amostral e do desvio padrão amostral.
Fórmula (amostral, correção de Bessel):
Usei
e
; então
Dividindo por
:
O desvio padrão amostral é
Explicação didática: a variância mede a dispersão média dos dados em torno da média; o desvio padrão é a raiz quadrada da variância e tem as mesmas unidades dos dados (minutos), facilitando interpretação.
Passo 7
Cálculo de
,
e identificação de outliers (método de Tukey).
Para
par, divido a amostra em duas metades: primeiras
observações (1 a 26) e últimas
(27 a 52).
-
é a mediana da metade inferior: média entre as posições e .
Da lista:, logo -
é a mediana da metade superior: média entre as posições e .
Da lista:, logo - Intervalo interquartílico:
Critério de Tukey para outliers:
- limite inferior (fence inferior):
. - limite superior (fence superior):
.
Como todos os dados estão entre
e
, não há observações abaixo de
nem acima de
. Logo, segundo o critério de Tukey, não há outliers na amostra.
Explicação: usamos medianas das metades para obter quartis; o IQR mede a dispersão central; valores além de
IQR são considerados atípicos (outliers).
Passo 8
Cálculo de
(2.º decil, ou
) e
(percentil
), com explicação.
Método de interpolação (comum): posição do percentil
é
. Se
não for inteiro, interpola entre as observações adjacentes.
-
Para
( ): Isso fica entre aª e a ª observação: .
Interpolando:Interpretação: aproximadamentedos pacientes (1 em cada 5) esperaram até cerca de minutos. -
Para
( ): Fica entre aª e ª observação: .
Interpolando:Interpretação:dos pacientes esperaram no máximo cerca de minutos.
Observação didática: essa é uma forma prática de obter percentis por interpolação linear entre observações ordenadas.
Passo 9
Construção do histograma e do box-plot a partir da tabela (instruções numéricas para desenhar).
Histograma (usando as classes do Passo 2):
- Barra para
com altura proporcional a (ou densidade se quiser densidade). - Barra para
com . - Barra para
com . - Barra para
com . - Barra para
com . - Barra para
com . - Barra para
com . - Barra para
com .
Para desenhar: no eixo horizontal coloque os intervalos (min
a max
), no eixo vertical coloque frequências absolutas (0 a 10). A maior frequência é
(classe
). O histograma mostrará uma concentração central entre cerca de
e
minutos, com cauda direita leve até
.
Box-plot (usar estatísticas):
- mínimo
, -
, - mediana
, -
, - máximo
, - sem outliers (segundo Tukey).
Para desenhar o box-plot: caixa de
a
com linha mediana em
; bigodes até
(mín) e
(máx). Isso resume graficamente a dispersão.
Passo 10
Resposta à pergunta (h): “Em até quantos minutos é possível garantir que pelo menos
dos atendimentos tenham sido realizados?”
Calculei o percentil
(posição
, entre a
ª e a
ª observação).
Da lista: .
Interpolando:
Da lista:
Interpolando:
Interpretação prática:
- O
das esperas fica abaixo de aproximadamente minutos. - Como garantia prática (usando tempos observados), se você disser “até
minutos” então pelo menos observações de (ou seja ) estão dentro desse tempo, portanto é seguro afirmar que pelo menos dos atendimentos foram realizados em até minutos.
Explicação: a interpolação dá
; ao usar um tempo observado e inteiro,
minutos garante concretamente pelo menos
.
Resposta
(a) Tabela de frequência (classes,
,
,
):
(b) Média
minutos; Mediana
minutos.
(c) Modas:
(multimodal, cada uma com freqüência
).
(d) Variância amostral
; desvio padrão amostral
minutos.
(e)
. IQR
. Limites de Tukey: inferior
, superior
. Não há outliers (todos os dados estão entre
e
).
(f)
(2.º decil)
minutos.
minutos. Interpretação: cerca de
dos pacientes esperaram até
min;
dos pacientes esperaram até
min.
(g) Histograma: barras por classe conforme (a) com alturas
(eixo
cobrindo
a
min). Box-plot: mínimo
,
, mediana
,
, máximo
; sem outliers.
(h) Percentil
minutos. Para garantir na prática que pelo menos
dos atendimentos foram realizados, diga “até
minutos” (porque
min cobre pelo menos
da amostra).