Two charges of equal magnitude Q are held a distance d apart. Consider only points on the line passing through both charges. If the two charges have the same sign, find the location of all points (if there are any) at which (i) the potential (relative to infinity) is zero (is the electric field zero at these points?), and (ii) the electric field is zero (is the potential zero at these points?).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: temos duas cargas pontuais iguais, de valor Q, afastadas de uma distância d. A gente só olha para pontos sobre a linha que une essas cargas. Como são cargas de mesmo sinal (digamos positivas), precisamos achar:
  1. onde o potencial elétrico V (comparado com o infinito) é zero — e saber se ali o campo vec E é zero;
  2. onde o campo elétrico vec E é zero — e saber se ali o potencial V é zero.
O que vamos usar:
  • Fórmula do potencial de uma carga pontual: V(x)=k,Qr,, com superposição para as duas cargas.
  • Fórmula do campo de uma carga pontual: vec E(x)=k,Qr^2,hat r,, também somando vetorialmente.
    - Coordenadas: é mais fácil pôr uma carga em x=0 e a outra em x=d, e estudar x<0, 0 e x>d.

Passo 2

Vamos ver onde V(x)=0.
Escrevendo o potencial total em um ponto x da reta:
V(x)=k,Q|x|+k,Q|x-d| = kQ!l(1|x|+1|x-d|r),
Como Q>0 e k>0, cada fração é positiva (não importa onde x esteja), logo a soma nunca dá zero. A conclusão é:
Não existe ponto finito em que V=0. O único lugar em que V chega a zero é lá no infinito.
E aí, será que nesse “ponto” (infinito) o campo é zero? Sim, lá em xtopminfty o campo de cada carga vai a zero, então vec E=0 no infinito.

Passo 3

Agora vamos achar onde vec E(x)=0.
Num ponto x na reta, o campo total (em módulo e considerando direção) é:
E(x)=kQl(1(x)^2-1(d-x)^2r),,
se x estiver entre as cargas (pois os vetores de cada carga apontam em sentidos opostos). Fora do intervalo [0,d], os campos têm o mesmo sentido e nunca se cancelam.
Para zerar, precisamos de
1x^2=1(d-x)^2 ;;Longrightarrow;; x^2=(d-x)^2 ;;Longrightarrow;; x=d-x ;;Longrightarrow;; x= d2,
Ou seja, o único ponto finito onde vec E=0 é o ponto médio x=d/2.
E neste ponto, qual é o potencial?
Vl(d/2r)=kQ!l(1d/2+1d/2r)=2,kQ!cdot2d=4kQdneq0,
Logo, no ponto em que vec E=0, o potencial é positivo, não zero.

Resposta

(i) Potencial zero só no infinito; lá o campo também é zero.
(ii) Campo zero apenas no ponto médio x=d/2; aí o potencial vale $V=4kQ/d\neq0,. $

Exercícios relacionados