Two dependent variables Find \partial x / \partial u and \partial y / \partial u if the equations u=x^{2}-y^{2} and v=x^{2}-y define x and y as functions of the independent variables u and v, and the partial derivatives exist. (See the hint in Exercise 61.) Then let s=x^{2}+y^{2} and find \partial s / \partial u.

Passo 1

O enunciado nos dá duas equações
u = x^2 - y^2,
v = x^2 - y,
que definem x e y como funções de u e v. Precisamos encontrar \partial x/\partial u e \partial y/\partial u usando diferenciação implícita (ou Teorema da Função Implícita) e depois, para s = x^2 + y^2, aplicar a regra da cadeia para obter \partial s/\partial u.

Passo 2

Diferenciando cada equação em relação a u, mantendo v constante, usamos
\frac{\partial u}{\partial u}=1, \quad \frac{\partial v}{\partial u}=0.
Assim, da primeira equação obtemos
1 = 2x\,\frac{\partial x}{\partial u} \;-\;2y\,\frac{\partial y}{\partial u},
e da segunda
0 = 2x\,\frac{\partial x}{\partial u} \;-\;\frac{\partial y}{\partial u}.

Passo 3

Da segunda equação segue
\frac{\partial y}{\partial u} = 2x\,\frac{\partial x}{\partial u}.
Substituindo na primeira:
1 = 2x\,\frac{\partial x}{\partial u} \;-\;2y\biggl(2x\,\frac{\partial x}{\partial u}\biggr) = 2x\bigl(1 - 2y\bigr)\frac{\partial x}{\partial u}.
Logo
\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2x\,(1 - 2y)},
e então
\frac{\partial y}{\partial u} = 2x\cdot\frac{1}{2x\,(1 - 2y)} = \frac{1}{1 - 2y}.

Passo 4

Para s = x^2 + y^2, a regra da cadeia dá
\frac{\partial s}{\partial u} = 2x\,\frac{\partial x}{\partial u} \;+\;2y\,\frac{\partial y}{\partial u} = 2x\cdot\frac{1}{2x\,(1 - 2y)} \;+\; 2y\cdot\frac{1}{1 - 2y}.
Simplificando,
\frac{\partial s}{\partial u} = \frac{1}{1 - 2y} \;+\;\frac{2y}{1 - 2y} = \frac{1 + 2y}{1 - 2y}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2x\,(1 - 2y)}, \displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{1 - 2y}, \displaystyle \frac{\partial s}{\partial u} = \frac{1 + 2y}{1 - 2y}.

Exercícios relacionados