Two different analytical tests can be used to determine the impurity level in steel alloys. Eight specimens are tested using both procedures, and the results are shown in the following tabulation.
Specimen
Test 1
Test 2
1
1.2
1.4
2
1.3
1.7
3
1.5
1.5
4
1.4
1.3
5
1.7
2.0
6
1.8
2.1
7
1.4
1.7
8
1.3
1.6
Is there evidence to support the claim that test 1 generates a mean difference 0.1 units lower than test 2 ? Use
.
| Specimen | Test 1 | Test 2 |
| 1 | 1.2 | 1.4 |
| 2 | 1.3 | 1.7 |
| 3 | 1.5 | 1.5 |
| 4 | 1.4 | 1.3 |
| 5 | 1.7 | 2.0 |
| 6 | 1.8 | 2.1 |
| 7 | 1.4 | 1.7 |
| 8 | 1.3 | 1.6 |
Passo 1
O enunciado dá os resultados de dois testes aplicados aos mesmos oito espécimes (pareados). Ele pergunta se há evidência, com nível de significância
, para apoiar a afirmação de que o Teste 1 gera, em média, uma diferença de
unidades a menos que o Teste 2. Dados (peguei-os da tabela do enunciado):
O que precisamos responder: com esses dados, existe evidência para aceitar a afirmação “Teste 1 é, em média,
unidades menor que Teste 2”? (Vamos tratar isso como um teste sobre a média das diferenças pareadas.)
Passo 2
Definimos a diferença pareada por
. Seja
a média populacional dessas diferenças. A afirmação “Teste 1 é
unidades menor que Teste 2” corresponde a
(porque Teste1 - Teste2 =
).
Como queremos verificar se há evidência a favor dessa afirmação em sentido direcional “menor”, tomamos as hipóteses:
(ou seja, teste unilateral à esquerda). Assumimos que as diferenças
são aproximadamente amostradas de uma população com distribuição aproximadamente normal — condição usual para o teste t pareado com
.
Passo 3
Calcule as diferenças observadas
para cada espécime (peguei cada par da tabela do Passo 1):
Para referência, a lista das diferenças é
(ordenada conforme os espécimes).
Passo 4
Calcule a média amostral das diferenças
:
Expliquei: somei todas as diferenças (resultado
) e dividi por
.
Passo 5
Calcule a variância amostral das diferenças. Primeiro calcule as diferenças em relação à média e seus quadrados; já que isso é trabalho mecânico, mostro o somatório das quadraturas:
Então a variância amostral é
E o desvio padrão amostral das diferenças é
(Observação didática:
mede a dispersão das diferenças em torno da média
.)
Passo 6
Construímos a estatística de teste t para hipóteses sobre
. A fórmula é a do t pareado:
onde
é o valor sob
(aqui
),
é o desvio padrão amostral das diferenças e
o número de pares.
Substituindo os valores:
Graus de liberdade:
.
Passo 7
Decisão pelo valor crítico. Para um teste unilateral à esquerda com
e
, o valor crítico é
Regra: rejeitar
se
.
Comparando: o nosso
não é menor que
(ou seja, não é suficientemente negativo). Portanto, pelo critério do valor crítico, não rejeitamos
.
Passo 8
Cálculo do p-valor (opcional, dá a mesma conclusão). Para
com
graus de liberdade, o p-valor unilateral é aproximadamente
ou seja, ligeiramente maior que
. Como
, novamente não rejeitamos
.
Passo 9
Interpretação final em linguagem simples e motivadora: os dados mostram uma média amostral das diferenças
, que é um pouco menor que
, mas a variabilidade das diferenças faz com que essa evidência não seja forte o bastante ao nível
. O teste t unilateral dá
com
, portanto não há evidência estatística suficiente para concluir que a média verdadeira das diferenças seja menor que
.
Resposta
Não — com
não há evidência suficiente para apoiar a afirmação;
,
,
(não rejeitamos
).