For a normal population with known variance
, answer the following questions:
What is the confidence level for the interval
?
What is the confidence level for the interval
Passo 1
O enunciado dá um intervalo de confiança para a média desconhecida
de uma população normal com variância conhecida
:
A pergunta é: qual é o nível de confiança desse intervalo?
Informações relevantes fornecidas: a média amostral , o desvio padrão populacional
conhecido e o fator multiplicador
na largura do intervalo.
Informações relevantes fornecidas: a média amostral
Passo 2
O que significa “nível de confiança” aqui? Em termos de probabilidade, o nível de confiança é a probabilidade, tomada sob o modelo probabilístico do experimento, de que o intervalo construído contenha o verdadeiro parâmetro
. Ou seja, queremos calcular
Vou transformar essa probabilidade numa forma envolvendo a distribuição padrão para poder consultar uma tabela ou usar uma calculadora.
Passo 3
Para uma amostra de uma população normal com variância conhecida, a variável padronizada
segue a distribuição normal padrão
. Reescrevendo a probabilidade em termos de
:
Essa é a probabilidade central de que
esteja dentro de
.
Passo 4
A probabilidade central para uma normal padrão pode ser expressa com a função de distribuição acumulada
de
:
Usando a simetria da normal padrão,
, temos
Passo 5
Agora precisamos do valor numérico de
. Consultando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora, obtemos aproximadamente
Substituindo:
Passo 6
Interpretando o número:
é a probabilidade de que o intervalo contenha
. Convertendo para porcentagem, o nível de confiança é aproximadamente
. Isso significa que, em longas repetições do experimento sob as mesmas condições, cerca de
dos intervalos construídos dessa forma conteriam o verdadeiro valor de
.