For a normal population with known variance σ^{2}, answer the following questions:
What is the confidence level for the interval \bar{x}-2.14 \sigma / \sqrt{n} \leq \mu \leq \bar{x}+2.14 \sigma / \sqrt{n} ?

Passo 1

O enunciado dá um intervalo de confiança para a média desconhecida \mu de uma população normal com variância conhecida \sigma^{2}:
\bar{x}-2{,}14\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x}+2{,}14\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
A pergunta é: qual é o nível de confiança desse intervalo?
Informações relevantes fornecidas: a média amostral \bar{x}, o desvio padrão populacional \sigma conhecido e o fator multiplicador 2{,}14 na largura do intervalo.

Passo 2

O que significa “nível de confiança” aqui? Em termos de probabilidade, o nível de confiança é a probabilidade, tomada sob o modelo probabilístico do experimento, de que o intervalo construído contenha o verdadeiro parâmetro \mu. Ou seja, queremos calcular
P\!\left(\bar{x}-2{,}14\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x}+2{,}14\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
Vou transformar essa probabilidade numa forma envolvendo a distribuição padrão para poder consultar uma tabela ou usar uma calculadora.

Passo 3

Para uma amostra de uma população normal com variância conhecida, a variável padronizada
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
segue a distribuição normal padrão N(0,1). Reescrevendo a probabilidade em termos de Z:
P\!\left(-2{,}14 \le \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le 2{,}14\right) = P\!\left(-2{,}14 \le Z \le 2{,}14\right).
Essa é a probabilidade central de que Z esteja dentro de \pm 2{,}14.

Passo 4

A probabilidade central para uma normal padrão pode ser expressa com a função de distribuição acumulada \Phi de Z:
P\!\left(-2{,}14 \le Z \le 2{,}14\right) = \Phi(2{,}14) - \Phi(-2{,}14).
Usando a simetria da normal padrão, \Phi(-z)=1-\Phi(z), temos
\Phi(2{,}14) - \Phi(-2{,}14) = \Phi(2{,}14) - \bigl(1-\Phi(2{,}14)\bigr) = 2\Phi(2{,}14)-1.

Passo 5

Agora precisamos do valor numérico de \Phi(2{,}14). Consultando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora, obtemos aproximadamente
\Phi(2{,}14) \approx 0{,}9838.
Substituindo:
2\Phi(2{,}14)-1 \approx 2\cdot 0{,}9838 - 1 = 1{,}9676 - 1 = 0{,}9676.

Passo 6

Interpretando o número: 0{,}9676 é a probabilidade de que o intervalo contenha \mu. Convertendo para porcentagem, o nível de confiança é aproximadamente 96{,}76\%. Isso significa que, em longas repetições do experimento sob as mesmas condições, cerca de 96{,}76\% dos intervalos construídos dessa forma conteriam o verdadeiro valor de \mu.

Resposta

96{,}76\%

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