Cloud seeding has been studied for many decades as a weather modification procedure (for an interesting study of this subject, see the article in Technometrics, “A Bayesian Analysis of a Multiplicative Treatment Effect in Weather Modification,” Vol. 17, pp. 161-166). The rainfall in acre-feet from 20 clouds that were selected at random and seeded with silver nitrate follows: 18.0, 30.7,19.8,27.1,22.3,18.8,31.8,23.4,21.2,27.9,31.9,27.1,25.0, 24.7, 26.9, 21.8, 29.2, 34.8, 26.7, and 31.6.
Can you support a claim that mean rainfall from seeded clouds exceeds 25 acre-feet? Use \alpha=0.01. Find the P-value.

Passo 1

O enunciado dá as 20 observações de chuva (em acre‑feet): \;18,0,\;30,7,\;19,8,\;27,1,\;22,3,\;18,8,\;31,8,\;23,4,\;21,2,\;27,9,\;31,9,\;27,1,\;25,0,\;24,7,\;26,9,\;21,8,\;29,2,\;34,8,\;26,7,\;31,6.
Pede-se testar, ao nível de significância \alpha=0,01, se a média de chuva das nuvens semeadas excede 25 acre‑feet, e calcular o P-valor.
As perguntas claras: (i) há evidência para afirmar que a média \mu>25? (ii) qual é o P-valor?

Passo 2

Qual procedimento usar? Aqui eu não sei o desvio padrão populacional \sigma e a amostra tem tamanho \;n=20 (pequena). Nesses casos usamos um teste baseado na distribuição t (teste t unilateral). A estatística de teste é
t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (média dos dados);
  • \mu_0 é o valor da média sob a hipótese nula (aqui \mu_0=25);
  • S é o desvio padrão amostral (estimador de \sigma);
  • n é o tamanho da amostra.
    A hipótese nula e alternativa são
H_0:\mu=25\qquad H_1:\mu>25.
O P-valor é a probabilidade de obter uma estatística t tão extrema (ou mais) que a observada, sob H_0: \;P\text{-valor}=P(T_{n-1}\ge t_{\text{obs}}) para um teste unilateral à direita, com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Calcular a média amostral \bar{X}. Primeiro somo os dados (faço a soma explicitada):
\sum_{i=1}^{20} x_i = 520,7.
Portanto
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{20} x_i=\frac{520,7}{20}=26,035.
Interpretação didática: \bar{X} é a média aritmética; aqui indica que a média amostral é cerca de 26,035 acre‑feet, um pouco acima de 25.

Passo 4

Calcular o desvio padrão amostral S. Preciso da soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 13991,41.
Usamos a fórmula da variância amostral (não enviesada):
S^2=\frac{1}{n-1}\Big(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{X}^2\Big).
Substituindo os números:
n\bar{X}^2 = 20\cdot(26,035)^2 = 13556,4245,
\sum x_i^2 - n\bar{X}^2 = 13991,41 - 13556,4245 = 434,9855,
S^2=\frac{434,9855}{19}=22,8945\quad(\text{aprox.}).
Logo
S=\sqrt{22,8945}\approx 4,784.
Explicando: S mede a dispersão das observações em torno da média; aqui cada observação varia em média cerca de 4,78 acre‑feet da média amostral.

Passo 5

Calcular a estatística t. Temos \bar{X}-\mu_0=26,035-25=1,035 e S/\sqrt{n}=4,784/\sqrt{20}. Como \sqrt{20}\approx 4,4721,
S/\sqrt{n}\approx \frac{4,784}{4,4721}\approx 1,070.
Portanto
t_{\text{obs}}=\frac{1,035}{1,070}\approx 0,968.
Graus de liberdade: df=n-1=19.

Passo 6

Calcular o P-valor (unilateral, à direita):
P\text{-valor}=P(T_{19}\ge 0,968).
Consultando a distribuição t (ou aproximando pela normal para valor moderado), obtemos aproximadamente
P\text{-valor}\approx 0,17\quad(\text{aproximadamente}).
Interpretação: sob H_0 a probabilidade de observar um t tão grande quanto 0,968 é cerca de 17\%, bem maior que \alpha=1\%.

Passo 7

Conclusão do teste: como P\text{-valor}\approx 0,17>\alpha=0,01, não rejeitamos H_0. Não há evidência estatística suficiente, ao nível de 1\%, para suportar a afirmação de que a média de chuva das nuvens semeadas excede 25 acre‑feet. (Resumo: resultado não significativo.)

Resposta

Não — não há evidência suficiente ao nível \alpha=0,01 para concluir que a média excede 25 acre‑feet.
P-valor \approx 0,17.

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