Cloud seeding has been studied for many decades as a weather modification procedure (for an interesting study of this subject, see the article in Technometrics, “A Bayesian Analysis of a Multiplicative Treatment Effect in Weather Modification,” Vol. 17, pp. 161-166). The rainfall in acre-feet from 20 clouds that were selected at random and seeded with silver nitrate follows: 18.0,
, 24.7, 26.9, 21.8, 29.2, 34.8, 26.7, and 31.6.
Can you support a claim that mean rainfall from seeded clouds exceeds 25 acre-feet? Use
. Find the
-value.
Can you support a claim that mean rainfall from seeded clouds exceeds 25 acre-feet? Use
Passo 1
O enunciado dá as 20 observações de chuva (em acre‑feet):
Pede-se testar, ao nível de significância , se a média de chuva das nuvens semeadas excede
acre‑feet, e calcular o
-valor.
As perguntas claras: (i) há evidência para afirmar que a média ? (ii) qual é o
-valor?
Pede-se testar, ao nível de significância
As perguntas claras: (i) há evidência para afirmar que a média
Passo 2
Qual procedimento usar? Aqui eu não sei o desvio padrão populacional
e a amostra tem tamanho
(pequena). Nesses casos usamos um teste baseado na distribuição
(teste
unilateral). A estatística de teste é
onde:
-
é a média amostral (média dos dados); -
é o valor da média sob a hipótese nula (aqui ); -
é o desvio padrão amostral (estimador de ); -
é o tamanho da amostra.
A hipótese nula e alternativa são
O
-valor é a probabilidade de obter uma estatística
tão extrema (ou mais) que a observada, sob
:
para um teste unilateral à direita, com
graus de liberdade.
Passo 3
Calcular a média amostral
. Primeiro somo os dados (faço a soma explicitada):
Portanto
Interpretação didática:
é a média aritmética; aqui indica que a média amostral é cerca de
acre‑feet, um pouco acima de
.
Passo 4
Calcular o desvio padrão amostral
. Preciso da soma dos quadrados:
Usamos a fórmula da variância amostral (não enviesada):
Substituindo os números:
Logo
Explicando:
mede a dispersão das observações em torno da média; aqui cada observação varia em média cerca de
acre‑feet da média amostral.
Passo 5
Calcular a estatística
. Temos
e
. Como
,
Portanto
Graus de liberdade:
.
Passo 6
Calcular o
-valor (unilateral, à direita):
Consultando a distribuição
(ou aproximando pela normal para valor moderado), obtemos aproximadamente
Interpretação: sob
a probabilidade de observar um
tão grande quanto
é cerca de
, bem maior que
.
Passo 7
Conclusão do teste: como
, não rejeitamos
. Não há evidência estatística suficiente, ao nível de
, para suportar a afirmação de que a média de chuva das nuvens semeadas excede
acre‑feet. (Resumo: resultado não significativo.)
Resposta
Não — não há evidência suficiente ao nível
para concluir que a média excede
acre‑feet.
-valor
.