Two semi-infinite filaments on the z axis lie in the regions -infty (note typographical error in problem statement) and a. Each carries a current I in the az direction.
Calculate H as a function of rho and phi at z=0: One way to do this is to use the field from an infinite line and subtract from it that portion of the field that would arise from the current segment at -a, found from the Biot-Savart law. Thus,
H=I2 pi rho aphi-integral-a^a I d z az times[rho arho-z az]4 pi[rho^2+z^2]^3 / 2
The integral part simplifies and is evaluated:
integral-a^a I d z rho aphi4 pi[rho^2+z^2]^3 / 2=I rho4 pi aphi zrho^2 raizrho^2+z^2|-a ^a=I a2 pi rho raizrho^2+a^2 aphi
Finally,
H=I2 pi rho[1-araizrho^2+a^2] aphi A / m

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem duas filamentos infinitos na direção do eixo $ z $: um vai de z até -infty e o outro de $ a $ até $ \infty $. Cada filamento leva uma corrente $ I $ na direção $ \mathbf{a}_{z} $. A tarefa é calcular o campo magnético $ \mathbf{H} $ no ponto $ z = 0 $, em função das coordenadas cilíndricas $ \rho $ e $ \phi $. Para isso, a gente vai usar a lei de Biot-Savart e considerar o campo devido a uma linha infinita, subtraindo a parte que vem do segmento de corrente entre -a e $ a $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético $ \mathbf{H} $ devido a um fio infinito com corrente $ I $. A expressão é:
H
Aqui, $ \rho $ é a distância radial do ponto ao eixo do fio e $ \mathbf{a}_{\phi} $ é o vetor unitário na direção azimutal.

Passo 3

Agora, precisamos subtrair o campo que viria do segmento de corrente que vai de -a até $ a $. Para isso, usamos a lei de Biot-Savart, que nos dá o campo magnético gerado por um elemento de corrente $ I d\mathbf{l} $:
a
Nesse caso, $ d\mathbf{l} $ está na direção $ \mathbf{a}_{z} $ e $ \mathbf{r} $ é o vetor posição do ponto onde queremos calcular o campo em relação ao elemento de corrente.

Passo 4

Montando a integral para o segmento de corrente de -a a $ a $, temos:
a
Aqui, $ \rho \mathbf{a}{\rho} $ é a componente radial e $ z \mathbf{a}{z} $ é a componente vertical do vetor posição.

Passo 5

Fazendo o cruzamento dos vetores, percebemos que só a componente azimutal $ \mathbf{a}_{\phi} $ vai contribuir. A integral fica então:
aphi

Passo 6

Resolvendo essa integral, obtemos:
I a2 pi rho raizrho^2 + a^2 aphi
Isso representa o campo magnético devido ao segmento de corrente de -a a $ a $.

Passo 7

Agora, voltamos ao campo total $ \mathbf{H} $ no ponto $ z = 0 $. Subtraímos o campo do segmento do campo do fio infinito:
H
Simplificando a expressão, temos:
z = 0

Resposta

O campo magnético no ponto $ z = 0 $ é dado por:
z = 0

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