A two-slit interference pattern is formed using monochromatic laser light that has a wavelength of 450 nm . What happens to the distance between the first maximum and the central maximum as the two slits are moved closer together? (a) The distance increases. (b) The distance decreases. (c) The distance remains the same.

Passo 1

O enunciado pergunta o que acontece com a distância entre o primeiro máximo de interferência e o máximo central quando as duas fendas são aproximadas (isto é, quando a separação entre as fendas diminui). Informações fornecidas:
  • Comprimento de onda da luz: \lambda=450\\ \text{nm}.
  • As fendas são aproximadas (a separação entre elas, que vou chamar de d, diminui).
  • Tudo o mais permanece igual (mesma tela, mesmo comprimento de onda, mesma geometria).
    A pergunta é de escolha múltipla: (a) aumenta, (b) diminui, (c) permanece o mesmo.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula básica para as posições dos máximos de interferência num arranjo de duas fendas. Para máximos construtivos a condição de fase é
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a separação entre as duas fendas (distância entre centros das fendas),
  • \theta é o ângulo medido a partir da direção central (normal à fenda) até o máximo m,
  • m é um inteiro (ordem do máximo): m=0 para o máximo central, m=1 para o primeiro máximo, etc.,
  • \lambda é o comprimento de onda da luz.
Expliquei a fórmula: o caminho extra entre as ondas vindas das duas fendas deve ser um múltiplo inteiro de \lambda para haver interferência construtiva.

Passo 3

Queremos a posição do primeiro máximo na tela (ordem m=1). Substituindo m=1 na condição dos máximos:
d\sin\theta_1 = \lambda.
Aqui \theta_1 é o ângulo do primeiro máximo. Isolando \sin\theta_1,
\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{d}.

Passo 4

Agora relacionamos o ângulo \theta_1 à posição linear y_1 do máximo na tela. Se a tela está a uma distância L das fendas (distância perpendicular da fenda à tela), a posição vertical y_1 do primeiro máximo medido a partir do centro é
y_1 = L \tan\theta_1.
Na prática de laboratório e em provas, costuma-se usar a aproximação de pequeno ângulo quando \theta_1 é pequeno (o que ocorre quando d é muito maior que \lambda). Para pequenos ângulos (em radianos) vale aproximadamente
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta.
Assim podemos aproximar
y_1 \approx L \sin\theta_1.

Passo 5

Substituindo \sin\theta_1=\dfrac{\lambda}{d} na expressão aproximada para y_1, obtemos a fórmula prática para a posição do primeiro máximo:
y_1 \approx L \frac{\lambda}{d}.
Nesta expressão:
  • L é fixo (distância até a tela),
  • \lambda é fixo ( 450\\ \text{nm} no enunciado),
  • d é a separação entre fendas e é a variável que estamos mudando.

Passo 6

A partir de \displaystyle y_1 \approx L\frac{\lambda}{d} vemos a dependência direta: y_1 é inversamente proporcional a d. Ou seja, se d diminui, o quociente \dfrac{\lambda}{d} aumenta e, portanto, y_1 aumenta (desde que L e \lambda permaneçam constantes). Intuitivamente: aproximando as fendas, as franjas se “espalham” mais na tela — o espaçamento entre franjas aumenta.

Passo 7

Um comentário prático e tranquilizador: o valor numérico do comprimento de onda \lambda=450\\ \text{nm} não altera essa conclusão qualitativa — qualquer \lambda fixa dará a mesma relação inversa entre y_1 e d. Então, para o enunciado dado, a distância entre o primeiro máximo e o máximo central aumenta quando as fendas são movidas mais próximas.

Resposta

(a)

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