a) ( 1,5 ponto) Mostre que no movimento de uma partícula de massa m , sob a a ação de uma força central, ou seja, uma força do tipo \vec{F}=F(r) \hat{r}, sendo \hat{r}=\frac{\vec{r}}{r^{\prime}} o momento angular \vec{L} em relação ao centro de forças se conserva.
b) (1,0 ponto) Um exemplo de força central é a força da gravidade, \vec{F}=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{r}. Considerando que a massa do sol é muito maior que a massa dos planetas do sistema solar, podemos ignorar o movimento do centro de massa do sol no movimento planetário. Considerando o resultado do item anterior e tomando \vec{r} como sendo o vetor posição de um planeta qualquer do sistema solar em relação ao sol e \vec{v} a sua velocidade de translação ao redor do sol, mostre que \vec{r} e \vec{v} são coplanares.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Vou listar claramente o que é pedido e quais informações são dadas:
  • Parte (a): Mostrar que, para uma partícula de massa m sujeita a uma força central \vec{F}=F(r)\,\hat{r} (com \hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{r}), o momento angular \vec{L} em relação ao centro de forças se conserva.
  • Parte (b): A força gravitacional \vec{F}=-G\dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}\hat{r} é um exemplo de força central. Admitindo que a massa do Sol é muito maior que a do planeta (podemos tratar o Sol como fixa) e tomando \vec{r} como vetor posição do planeta em relação ao Sol e \vec{v} sua velocidade, mostrar que \vec{r} e \vec{v} são coplanares, usando o resultado da parte (a).
Informações relevantes dadas (que vou usar):
  • Vetor posição: \vec{r}.
  • Velocidade: \vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}.
  • Massa da partícula (planeta): m.
  • Força central geral: \vec{F}=F(r)\,\hat{r}, ou no caso gravitacional \vec{F}=-G\dfrac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\hat{r}.
  • Definição usual do momento angular: \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p} com \vec{p}=m\vec{v}.

Passo 2

Definir cuidadosamente o momento angular e escrever sua derivada no tempo.
  • Definição: o momento angular da partícula em relação ao centro é
\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p},
onde \vec{p}=m\vec{v} é o momento linear.
  • Vou calcular a derivada temporal de \vec{L}. Uso a regra do produto para produto vetorial: se \vec{A}(t) e \vec{B}(t) são vetores, então
\frac{d}{dt}(\vec{A}\times\vec{B})=\frac{d\vec{A}}{dt}\times\vec{B}+\vec{A}\times\frac{d\vec{B}}{dt}.
Aplicando com \vec{A}=\vec{r} e \vec{B}=\vec{p},
\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})=\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}+\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}.

Passo 3

Avaliar os termos da derivada usando \vec{p}=m\vec{v} e a segunda lei de Newton.
  • Primeiro termo: \dfrac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}, então
\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}=\vec{v}\times(m\vec{v})=m(\vec{v}\times\vec{v}).
Mas o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero: \vec{v}\times\vec{v}=\vec{0}. Logo o primeiro termo é \vec{0}.
  • Segundo termo: pela segunda lei de Newton \dfrac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}. Portanto o segundo termo é \vec{r}\times\vec{F}.
  • Assim juntando,
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{r}\times\vec{F}.
Esse é um resultado geral: a taxa de variação do momento angular é o torque \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.

Passo 4

Usar que \vec{F} é uma força central para mostrar que o torque é nulo e, portanto, \vec{L} é conservado (parte a).
  • Uma força central tem a direção radial, isto é \vec{F}=F(r)\,\hat{r} com \hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{r}. Posso escrever \vec{F}=f(r)\,\vec{r} com f(r)=\dfrac{F(r)}{r} (ou simplesmente dizer que \vec{F} é paralelo a \vec{r}).
  • Como \vec{F} é paralelo a \vec{r}, o produto vetorial \vec{r}\times\vec{F} é nulo (produto vetorial de vetores paralelos é \vec{0}). Logo
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{0}.
  • Conclusão (parte a): \dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}, portanto \vec{L} é constante no tempo (momento angular conservado). Físicamente: torque em relação ao centro é zero, então não há variação do momento angular.

Passo 5

Aplicar o resultado ao caso gravitacional e mostrar que \vec{r} e \vec{v} são coplanares (parte b).
  • A força gravitacional indicada \vec{F}=-G\dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}\hat{r} é da forma \vec{F}=F(r)\hat{r}, ou seja, é uma força central. Portanto o argumento da parte (a) vale: o momento angular
\vec{L}=m(\vec{r}\times\vec{v})
é constante no tempo.
  • Propriedade útil: para qualquer vetores \vec{a},\vec{b} vale (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0 e (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0 (produto escalar de um vetor com o produto vetorial que o contém é zero porque \vec{a}\times\vec{b} é perpendicular tanto a \vec{a} quanto a \vec{b}).
  • Então com \vec{L}=m(\vec{r}\times\vec{v}) obtemos
\vec{L}\cdot\vec{r}=m(\vec{r}\times\vec{v})\cdot\vec{r}=0, \qquad \vec{L}\cdot\vec{v}=m(\vec{r}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=0.
Isto mostra que, em qualquer instante, tanto \vec{r} quanto \vec{v} são vetores perpendiculares a \vec{L}.
  • Como \vec{L} é constante no tempo (direção e módulo fixos), o espaço de todos os vetores perpendiculares a \vec{L} é um plano fixo (o plano perpendicular a \vec{L}). Logo todos os vetores \vec{r}(t) e \vec{v}(t) pertencem a esse mesmo plano fixo.
  • Conclusão (parte b): \vec{r} e \vec{v} são coplanares — mais precisamente, ambos pertencem ao plano perpendicular ao vetor constante \vec{L}. Em palavras mais amigáveis: a direção do momento angular define o plano orbital; o planeta se move num único plano fixo em torno do Sol.

Resposta

a) \dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}, logo \vec{L} é conservado.\n
b) \vec{r} e \vec{v} são coplanares (ambos pertencem ao plano perpendicular ao vetor constante \vec{L}).

Exercícios relacionados