a) ( 1,5 ponto) Mostre que no movimento de uma partícula de massa m , sob a a ação de uma força central, ou seja, uma força do tipo
, sendo
o momento angular
em relação ao centro de forças se conserva.
b) (1,0 ponto) Um exemplo de força central é a força da gravidade,
. Considerando que a massa do sol é muito maior que a massa dos planetas do sistema solar, podemos ignorar o movimento do centro de massa do sol no movimento planetário. Considerando o resultado do item anterior e tomando
como sendo o vetor posição de um planeta qualquer do sistema solar em relação ao sol e
a sua velocidade de translação ao redor do sol, mostre que
e
são coplanares.
b) (1,0 ponto) Um exemplo de força central é a força da gravidade,
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Vou listar claramente o que é pedido e quais informações são dadas:
-
Parte (a): Mostrar que, para uma partícula de massa
sujeita a uma força central (com ), o momento angular em relação ao centro de forças se conserva. -
Parte (b): A força gravitacional
é um exemplo de força central. Admitindo que a massa do Sol é muito maior que a do planeta (podemos tratar o Sol como fixa) e tomando como vetor posição do planeta em relação ao Sol e sua velocidade, mostrar que e são coplanares, usando o resultado da parte (a).
Informações relevantes dadas (que vou usar):
- Vetor posição:
. - Velocidade:
. - Massa da partícula (planeta):
. - Força central geral:
, ou no caso gravitacional . - Definição usual do momento angular:
com .
Passo 2
Definir cuidadosamente o momento angular e escrever sua derivada no tempo.
- Definição: o momento angular da partícula em relação ao centro é
onde
é o momento linear.
- Vou calcular a derivada temporal de
. Uso a regra do produto para produto vetorial: se e são vetores, então
Aplicando com
e
,
Passo 3
Avaliar os termos da derivada usando
e a segunda lei de Newton.
- Primeiro termo:
, então
Mas o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero:
. Logo o primeiro termo é
.
-
Segundo termo: pela segunda lei de Newton
. Portanto o segundo termo é . -
Assim juntando,
Esse é um resultado geral: a taxa de variação do momento angular é o torque
.
Passo 4
Usar que
é uma força central para mostrar que o torque é nulo e, portanto,
é conservado (parte a).
-
Uma força central tem a direção radial, isto é
com . Posso escrever com (ou simplesmente dizer que é paralelo a ). -
Como
é paralelo a , o produto vetorial é nulo (produto vetorial de vetores paralelos é ). Logo
- Conclusão (parte a):
, portanto é constante no tempo (momento angular conservado). Físicamente: torque em relação ao centro é zero, então não há variação do momento angular.
Passo 5
Aplicar o resultado ao caso gravitacional e mostrar que
e
são coplanares (parte b).
- A força gravitacional indicada
é da forma , ou seja, é uma força central. Portanto o argumento da parte (a) vale: o momento angular
é constante no tempo.
-
Propriedade útil: para qualquer vetores
vale e (produto escalar de um vetor com o produto vetorial que o contém é zero porque é perpendicular tanto a quanto a ). -
Então com
obtemos
Isto mostra que, em qualquer instante, tanto
quanto
são vetores perpendiculares a
.
-
Como
é constante no tempo (direção e módulo fixos), o espaço de todos os vetores perpendiculares a é um plano fixo (o plano perpendicular a ). Logo todos os vetores e pertencem a esse mesmo plano fixo. -
Conclusão (parte b):
e são coplanares — mais precisamente, ambos pertencem ao plano perpendicular ao vetor constante . Em palavras mais amigáveis: a direção do momento angular define o plano orbital; o planeta se move num único plano fixo em torno do Sol.
Resposta
a)
, logo
é conservado.\n
b) e
são coplanares (ambos pertencem ao plano perpendicular ao vetor constante
).
b)