a) ( 1,5 ponto) Uma escada de 20 m , massa 50 kg , está encostada numa parede; o ponto de apoio está a uma altura de 16 m do solo. O centro de massa da escada está a um terço de seu comprimento, medindo de baixo. Um homem de 80 kg está apoiado no meio da escada. Supondo não haver atrito entre a escada e a parede, determinar as forças exercidas pelo sistema no solo e na parede.
b) ( 1,0 ponto) Se o coeficiente de atrito estático entre o solo e a escada é 0,40 , até que altura o homem pode subir na escada, antes que ela comece a escorregar?
b) ( 1,0 ponto) Se o coeficiente de atrito estático entre o solo e a escada é 0,40 , até que altura o homem pode subir na escada, antes que ela comece a escorregar?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados que peguei do enunciado:
- Comprimento da escada:
. - Massa da escada:
. - A escada está encostada na parede com o ponto superior a uma altura de
do solo (isto foi dado). - O centro de massa da escada está a um terço do comprimento, medido a partir de baixo: isto é, posição ao longo da escada
. - Um homem de massa
está apoiado no meio da escada: posição ao longo da escada . - A parede é sem atrito (o enunciado informou explicitamente que não há atrito entre escada e parede).
- No item (b) o coeficiente de atrito estático entre solo e escada é
.
O enunciado pede:
(a) Determinar as forças exercidas pelo sistema (escada + homem) no solo e na parede, supondo sem atrito na parede.
(b) Com entre solo e escada, até que altura o homem pode subir antes da escada escorregar?
(a) Determinar as forças exercidas pelo sistema (escada + homem) no solo e na parede, supondo sem atrito na parede.
(b) Com
Passo 2
Primeiro calculamos a geometria da escada para usar em torques (essa parte é puramente trigonométrica).
A escada forma um triângulo retângulo com altura
e hipotenusa
. A base (distância horizontal do pé da escada à parede) é
O ângulo
que a escada faz com o solo satisfaz
Anote:
e
. Esses valores vão aparecer ao transformar distâncias ao longo da escada em projeções horizontais/verticais.
Passo 3
Vamos montar o equilíbrio estático (forças e momentos). Antes, defino as forças que aparecem no diagrama de corpo livre (DCL) da escada+homem:
- Peso da escada:
atuando verticalmente para baixo no ponto a ao longo da escada a partir do pé. - Peso do homem:
atuando verticalmente para baixo no ponto a ao longo da escada. - Reação da parede (sem atrito): é uma força horizontal aplicada no topo da escada. Vou chamar de
(direção horizontal, apontando do topo para fora da parede sobre a escada). - No solo há duas componentes de reação: uma normal vertical para cima
e uma força horizontal (que, se houver atrito, é a força de atrito; se não houver atrito, é apenas a reação horizontal necessária para equilíbrio). Pelo princípio da ação e reação, a força que o sistema (escada+homem) exerce no solo tem componentes (para baixo) e (no sentido horizontal oposto à força que o solo exerce sobre a escada). Para efeito de equilíbrio tomamos as forças que o solo exerce sobre a escada: (para cima) e (horizontal para compensar ).
Explicação do método de equilíbrio:
- Equilíbrio translacional horizontal: soma das forças horizontais = 0
(tomando para a direita e para a esquerda ou vice‑versa); portanto
- Equilíbrio translacional vertical: soma das forças verticais = 0
; logo
- Equilíbrio rotacional (momentos): escolhemos o pé da escada como ponto de cálculo de momentos (isso elimina
e do momento porque suas linhas de ação passam pelo ponto). A soma dos momentos em torno do pé deve ser zero. As forças verticais e produzem momentos cujo braço horizontal relativo ao pé é a projeção horizontal da posição ao longo da escada: para um ponto a distância ao longo da escada, a coordenada horizontal é . A reação horizontal no topo produz momento cujo braço vertical é exatamente a altura . Assim o balanço de momentos (tomando momentos que tendem a girar num sentido como positivos) fica:
Note que todas as quantidades acima já foram definidas.
Passo 4
Calcular os pesos numéricos usando
.
Também fixamos as posições ao longo da escada:
Passo 5
Agora aplicamos o equilíbrio de momentos para encontrar
. Usando
substituímos números:
Calcule primeiro
:
Soma:
Multiplicando por
:
Portanto
Passo 6
Com
conhecido, determinamos as demais componentes no solo.
- Pela igualdade das forças horizontais:
- Pela soma vertical:
A resultante da reação do solo (módulo) é a combinação vetorial de
(vertical) e
(horizontal):
Calculemos numericamente:
Ângulo da resultante em relação à vertical (medido do vertical em direção à parede):
Passo 7
Interpretação física das forças (sinais e sentidos):
- Força exercida pelo sistema na parede: a escada empurra a parede horizontalmente com magnitude
. Pelo princípio da ação e reação, a parede exerce sobre a escada uma força horizontal de no sentido oposto. - Forças exercidas pelo sistema no solo:
- Componente vertical para baixo igual ao peso total:
. - Componente horizontal para a parede (ou seja, empurrando o solo na direção da parede) igual a
. - Resultante dessas duas componentes tem módulo
e forma um ângulo de com a vertical, virando em direção à parede.
- Componente vertical para baixo igual ao peso total:
Passo 8
Agora o item (b): encontrar até que altura o homem pode subir quando existe atrito estático no solo com coeficiente
.
Explicação: a escada começa a deslizar quando a força horizontal necessária no solo
excede a máxima força de atrito estático
Calculamos
(o normal) que, enquanto a escada está em equilíbrio vertical, continua sendo o peso total:
Logo
Passo 9
Para determinar até que posição ao longo da escada (distância
medida a partir do pé) o homem pode subir, usamos novamente o equilíbrio de momentos em torno do pé, mas agora impondo que a reação horizontal requerida
é, no limite, igual a
(porque quando o atrito atinge seu máximo a escada está prestes a escorregar).
A equação de momento é (derivação igual à do item (a)):
No limite de escorregamento tomamos
. Isolando
:
Substituímos
,
,
,
e
.
Passo 10
Cálculo numérico de
:
Primeiro calcule
:
Subtraindo
:
Dividindo por
:
Esse valor é a distância ao longo da escada medida a partir do pé (ou seja, posição sobre a escada onde o homem pode estar no máximo sem que ocorra deslizamento).
A altura vertical correspondente (distância ao solo) é
Observações práticas:
é menor que o comprimento da escada
, então o valor é fisicamente possível. A altura máxima na parede onde o homem pode alcançar antes do escorregamento é
.
Resposta
(a) Força na parede (horizontal):
.\nForças no solo: componente vertical para baixo
, componente horizontal para a parede
; resultante
formando
com a vertical (em direção à parede).\n(b) O homem pode subir até
ao longo da escada, o que corresponde à altura vertical
acima do solo.