Para u, v, w, vetores, A=(ai j), matriz real 3 times 3, mostre que
[a11 u+a21 v+a31 w, a12 u+a22 v+a32 w, a13 u+a23 v+a33 w]=det A cdot[u, v, w]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz real [a11 u + a21 v + a31 w, a12 u + a22 v + a32 w, a13 u + a23 v + a33 w] = det A cdot [u, v, w] e vetores , a seguinte igualdade é válida:
Vamos precisar entender como multiplicar uma matriz por vetores e como calcular determinantes e produtos mistos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que multiplicar uma matriz por um vetor resulta em uma combinação linear das colunas de . No nosso caso, cada uma das colunas da nova matriz é uma combinação linear dos vetores com os coeficientes da matriz .

Passo 3

Agora, o lado esquerdo da igualdade representa o determinante da matriz formada por essas combinações lineares de [a11 u + a21 v + a31 w, a12 u + a22 v + a32 w, a13 u + a23 v + a33 w] . Ou seja:
Isso é equivalente a calcular o determinante de uma matriz cujo -ésima coluna é .

Passo 4

Sabemos que o determinante de um produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes:
det(AB) = det A cdot det B
Aqui, podemos pensar que a matriz formada pelas combinações lineares dos vetores é o produto da matriz pela matriz formada pelos vetores .

Passo 5

Vamos definir B = [u, v, w] como a matriz cujas colunas são det(AB) = det A cdot det B :
Então, a matriz formada pelas combinações lineares é , e seu determinante é:

Passo 6

O lado direito da igualdade que queremos mostrar é det(AB) = det A cdot det B implies [a11 u + a21 v + a31 w, a12 u + a22 v + a32 w, a13 u + a23 v + a33 w] = det A cdot [u, v, w] , onde é o determinante da matriz . Portanto, concluímos que:

Resposta

Mostramos que:
[a11 u + a21 v + a31 w, a12 u + a22 v + a32 w, a13 u + a23 v + a33 w] = det A cdot [u, v, w]

Exercícios relacionados