Se V=x z-x y+y z, expresse V em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado dá a função V em coordenadas cartesianas e pede que a mesma seja reescrita em coordenadas cilíndricas. Informações do enunciado:
  • A expressão dada é V = x z - x y + y z.
  • Pedido: expressar V em coordenadas cilíndricas (usar as variáveis cilindricas usuais).

Passo 2

O que são coordenadas cilíndricas e como trocar as variáveis — explicado passo a passo e de maneira prática:
  • Em coordenadas cilíndricas usa-se (r,\theta,z), onde:
    • r é a distância radial ao eixo z no plano xy (ou seja, r\ge 0);
    • \theta é o ângulo no plano xy medido a partir do eixo x (em radianos);
    • z é a mesma coordenada vertical que já existe em cartesianas.
  • As fórmulas de transformação (essas são as que vamos usar para substituir) são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Aqui cada símbolo significa: x e y são as coordenadas cartesianas; r, \theta, z são as coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Substituir as expressões de x e y em termos de r e \theta na expressão de V. Começando por escrever V e substituir termo a termo:
V = x z - x y + y z.
Substituindo x = r\cos\theta e y = r\sin\theta obtemos:
V = (r\cos\theta)\,z - (r\cos\theta)(r\sin\theta) + (r\sin\theta)\,z.
Agora desenvolvendo os produtos:
V = r z \cos\theta - r^{2}\cos\theta\sin\theta + r z \sin\theta.

Passo 4

Organizar e simplificar a expressão retirando fatores comuns quando possível, para ficar mais compacto e útil na prova:
  • Agrupando os termos que têm r z:
V = r z(\cos\theta + \sin\theta) - r^{2}\cos\theta\sin\theta.
  • Podemos também usar a identidade trigonométrica
\cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)
para reescrever o termo quadrático em r. Aplicando isso:
V = r z(\cos\theta + \sin\theta) - \tfrac{r^{2}}{2}\sin(2\theta).
Ambas as formas são equivalentes; a escolha depende do que fica mais conveniente na prova (por exemplo, a forma com \sin(2\theta) é útil se aparecerem duplas-ângulos).

Passo 5

Resumo rápido para decorar e usar na prova:
  • Primeiro substituir x e y por r\cos\theta e r\sin\theta.
  • Fazer as multiplicações com cuidado, agrupar termos em comum (como r z) e, se quiser, aplicar identidades trigonométricas simples para compactar a expressão.

Resposta

V = r z(\cos\theta + \sin\theta) - r^{2}\cos\theta\sin\theta\n
V = r z(\cos\theta + \sin\theta) - \tfrac{r^{2}}{2}\sin(2\theta)

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