Se
, expresse
em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado dá a função
em coordenadas cartesianas e pede que a mesma seja reescrita em coordenadas cilíndricas. Informações do enunciado:
- A expressão dada é
. - Pedido: expressar
em coordenadas cilíndricas (usar as variáveis cilindricas usuais).
Passo 2
O que são coordenadas cilíndricas e como trocar as variáveis — explicado passo a passo e de maneira prática:
- Em coordenadas cilíndricas usa-se
, onde: -
é a distância radial ao eixo no plano (ou seja, ); -
é o ângulo no plano medido a partir do eixo (em radianos); -
é a mesma coordenada vertical que já existe em cartesianas.
-
- As fórmulas de transformação (essas são as que vamos usar para substituir) são:
Aqui cada símbolo significa:
e
são as coordenadas cartesianas;
,
,
são as coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Substituir as expressões de
e
em termos de
e
na expressão de
. Começando por escrever
e substituir termo a termo:
Substituindo
e
obtemos:
Agora desenvolvendo os produtos:
Passo 4
Organizar e simplificar a expressão retirando fatores comuns quando possível, para ficar mais compacto e útil na prova:
- Agrupando os termos que têm
:
- Podemos também usar a identidade trigonométrica
para reescrever o termo quadrático em
. Aplicando isso:
Ambas as formas são equivalentes; a escolha depende do que fica mais conveniente na prova (por exemplo, a forma com
é útil se aparecerem duplas-ângulos).
Passo 5
Resumo rápido para decorar e usar na prova:
- Primeiro substituir
e por e . - Fazer as multiplicações com cuidado, agrupar termos em comum (como
) e, se quiser, aplicar identidades trigonométricas simples para compactar a expressão.