U(x)=U0(ax+xa)
where U0=1 J and alpha=2 m. Plot the potential, find the equilibrium points, and determine whether they are maxima or minima.

Passo 1

Beleza, o exercício dá um potencial
U(x)=U0l(ax+xar)
com U0=1,J e a=2,m. A matéria é mecânica (potenciais e equilíbrio). Para resolver a gente vai precisar de cálculo de derivadas (primeira pra achar os pontos de equilíbrio e segunda pra ver se é máximo ou mínimo) e um pouquinho de análise de como a curva se comporta nos extremos (plot qualitativo).

Passo 2

Antes de tudo, vamos dar uma olhada em como essa função se comporta:
  1. Quando xto0^+, o termo ax domina e vai pra +infty.
  2. Quando xto+infty, o termo xa domina e também vai pra +infty.
    Então, para x>0, o gráfico de U(x) vem de +infty, desce até um vale e depois sobe de novo pra +infty. Se você estender pra x<0, vai ver um comportamento semelhante mas com sinal trocado na segunda parte, indo de -infty a um pico em x=-a e depois descendo pra -infty.

Passo 3

Agora, bora achar de fato os pontos de equilíbrio resolvendo
dUdx=0
Calculemos
$$\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}
=U_{0}\Bigl(-\frac{a}{x^{2}}+\frac{1}{a}\Bigr). dUdx =U0l(-ax^2+1ar)-\frac{a}{x^{2}}+\frac{1}{a}=0
\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{a}=\frac{a}{x^{2}}
\quad\Longrightarrow\quad x{2}=a{2}
\quad\Longrightarrow\quad x=\pm a.$$

Passo 4

Pra saber se cada ponto é máximo ou mínimo, usamos a segunda derivada:
d^2Udx^2 =U0,ddxl(-ax^2r) =U0,l(2ax^3r)
– Em x=+a:
d^2Udx^2|x=a =U0,2aa^3 =2U0a^2>0 Longrightarrowmínimo (estável)íá
– Em x=-a:
d^2Udx^2|x=-a =U0,2a(-a)^3 =-2U0a^2<0 Longrightarrowmáximo (instável)áá

Resposta

Pontos de equilíbrio em x=+a (mínimo de potencial, ponto estável) e em x=-a (máximo de potencial, ponto instável). Em termos numéricos, com a=2,m e U0=1,J, esses são x=+2,m (estável) e x=-2,m (instável).

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