(a) Find the tangential acceleration and normal acceleration as a function of time where the tangential and normal components are taken with respect to the velocity.
(b) Determine at what times in the orbit has a maximum.
Passo 1
Beleza, o enunciado dá a trajetória paramétrica e .
Isso é um exercício de Cinemática Vetorial em 2D: a gente vai precisar derivar pra achar velocidade e aceleração, usar a definição de componente tangencial
e de componente normal
A partir do passo 2 a gente faz isso tudo na prática.
Passo 2
Primeiro achamos o vetor velocidade dot x=Al(2alpha-alphacos(alpha t)r)=Aalphal(2-cos(alpha t)r), dot y=Al(0+alphasin(alpha t)r)=Aalphasin(alpha t) .
Derivando:
v(t)=l(Aalpha(2-cosalpha t),;Aalphasinalpha tr)
Então
Passo 3
Agora a aceleração ddot x=Aalpha^2sin(alpha t), ddot y=Aalpha^2cos(alpha t) . Derivando de novo:
a(t)=l(Aalpha^2sinalpha t,;Aalpha^2cosalpha tr)
Logo
Passo 4
Precisamos do módulo da velocidade
|v|=raizl(Aalpha(2-cosalpha t)r)^2+l(Aalphasinalpha tr)^2 =Aalpharaiz(2-cosalpha t)^2+sin^2alpha t =Aalpharaiz5-4cosalpha t
Passo 5
Componente tangencial é
at=d|v|dt
Como d|v|dt =Aalphacdot12(5-4cosalpha t)^-tfrac12cdot(4alphasinalpha t) =2Aalpha^2sinalpha traiz5-4cosalpha t , usamos a regra da cadeia:
Passo 6
Componente normal vale
an=|vtimes a||v|
No plano, dot x,ddot y-dot y,ddot x =Aalpha(2-cosalpha t)cdot Aalpha^2cosalpha t - Aalphasinalpha tcdot Aalpha^2sinalpha t =A^2alpha^3l((2-cosalpha t)cosalpha t-sin^2alpha tr) vira o determinante |vtimes a|=A^2alpha^3l|2cosalpha t-1r| . Calculando:
an =A^2alpha^3|2cosalpha t-1|Aalpharaiz5-4cosalpha t =Aalpha^2,|2cosalpha t-1|raiz5-4cosalpha t
Como , temos
Dividindo por dá
Passo 7
Pra achar máximos de , note que varia de a .
Analisando (ou testando os extremos) vemos que o maior valor de com ocorre em ou .
Isso equivale a ou .