Se
, em que
e
s. sent, determine o valor de
, quando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função
, onde
,
e
são funções de
,
e
:
Queremos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, nos pontos
,
e
. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, já que
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da cadeia, temos:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 5
Substituindo todas as derivadas na expressão da regra da cadeia:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores
,
e
nas expressões de
,
e
:
Passo 7
Substituindo
,
,
,
,
, e
na expressão de
:
Simplificando cada parte:
Resposta
O valor de
quando
,
e
é 1440.