Se u=x^4 y+y^2 z^3, em que x=r s e^t, y=r s^2 e^-t e x=r^2 s. sent, determine o valor de partial u / partial s, quando r=2, s=1 e t=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função x = r s e^t, y = r s^2 e^-t, z = r^2 s , onde , e são funções de , e :
Queremos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, , nos pontos , e . Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, já que depende de , e , que por sua vez dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial upartial s = partial upartial x cdot partial xpartial s + partial upartial y cdot partial ypartial s + partial upartial z cdot partial zpartial s em relação a . Usando a regra da cadeia, temos:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.

Passo 3

Calculando partial upartial x = 4x^3 y :
partial upartial y = x^4 + 2y z^3
Calculando partial upartial z = 3y^2 z^2 :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de partial xpartial s = r e^t , partial ypartial s = 2r s e^-t e partial zpartial s = r^2 em relação a :

Passo 5

Substituindo todas as derivadas na expressão da regra da cadeia:
partial upartial s = (4x^3 y) cdot (r e^t) + (x^4 + 2y z^3) cdot (2r s e^-t) + (3y^2 z^2) cdot (r^2)

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores x = 2 cdot 1 cdot e^0 = 2 , y = 2 cdot 1^2 cdot e^0 = 2 e z = 2^2 cdot 1 = 4 nas expressões de , e :

Passo 7

Substituindo partial upartial s = (4 cdot 2^3 cdot 2) cdot (2 cdot e^0) + (2^4 + 2 cdot 2 cdot 4^3) cdot (2 cdot 1 cdot e^0) + (3 cdot 2^2 cdot 4^2) cdot (2^2) , = (4 cdot 8 cdot 2) cdot 2 + (16 + 2 cdot 2 cdot 64) cdot 2 + (3 cdot 4 cdot 16) cdot 4 , = (64) cdot 2 + (16 + 256) cdot 2 + (192) cdot 4 , = 128 + 272 cdot 2 + 768 , = 128 + 544 + 768 , e = 1440 na expressão de :
Simplificando cada parte:

Resposta

O valor de quando , e é 1440.

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