Utilize apenas a definição por limite f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h para determinar a equação inclinação da reta tangente y-y0=m^prime cdot(x-x0) ao gráfico de f no ponto dado. f(x)=3 x^2-x ; ponto (1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada por limite, que nos ajuda a calcular a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função f^prime(x) = limh 0 f(x + h) - f(x)h em um ponto é dada por:
Esse limite, se existir, nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f(1) = 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2 no ponto . Primeiro, substituímos por na função:
Então, o ponto dado é realmente .

Passo 4

Vamos calcular a derivada f^prime(1) = limh 0 f(1 + h) - f(1)h usando a definição:
f(1 + h) = 3(1 + h)^2 - (1 + h) = 3(1 + 2h + h^2) - 1 - h = 3 + 6h + 3h^2 - 1 - h = 2 + 5h + 3h^2
Primeiro, encontramos f^prime(1) = limh 0 (2 + 5h + 3h^2) - 2h = limh 0 5h + 3h^2h = limh 0 (5 + 3h) = 5 :
Agora, substituímos na expressão do limite:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 5

Com a inclinação y - y0 = m' cdot (x - x0) e o ponto y - 2 = 5(x - 1) , podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de y - 2 = 5(x - 1) no ponto é:

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