(UE-GO) Sejam os números reais x=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}, y=2^{3}, z=8^{\frac{1}{3}}, w=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} e t=\log _{2}\left(\frac{1}{8}\right). É correto afirmar que:
a) t < x < z < w < y
b) a sequência (z, w, y) é uma P.A.
c) t+w<x
d) w^{\frac{1}{z}} não é um número inteiro.

Passo 1

O enunciado nos dá os números reais abaixo (vou copiar exatamente o que está no enunciado):
  • x=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}
  • y=2^{3}
  • z=8^{\frac{1}{3}}
  • w=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}
  • t=\log_{2}\left(\frac{1}{8}\right)
As afirmações a verificar são:
a) t<x<z<w<y
b) a sequência (z,w,y) é uma P.A. (progressão aritmética)
c) t+w<x
d) w^{\frac{1}{z}} não é um número inteiro

Passo 2

Vamos calcular cada um desses números com calma, explicando as regras usadas.
Calcular x:
x=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1^{3}}{2^{3}}=\frac{1}{8}=0{,}125.
Observação: potências de fração seguem a regra (a/b)^{n}=a^{n}/b^{n}.
Calcular y:
y=2^{3}=8.
Calcular z:
z=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2,
pois 2^{3}=8. Explicação: a^{1/3} é a raiz cúbica de a.
Calcular w:
Usar a regra de expoente negativo \,a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}\,. Assim,
w=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{1}\right)^{2}=2^{2}=4.
Outra forma: \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=\dfrac{1}{(1/2)^{2}}=\dfrac{1}{1/4}=4.
Calcular t:
Usar propriedade dos logaritmos: \log_{b}(b^{k})=k. Observando \frac{1}{8}=2^{-3},
t=\log_{2}\left(\frac{1}{8}\right)=\log_{2}\left(2^{-3}\right)=-3.
Resumo numérico (para facilitar comparações):
t=-3,\qquad x=0{,}125,\qquad z=2,\qquad w=4,\qquad y=8.

Passo 3

Verificar a afirmação (a): t<x<z<w<y.
Compare termo a termo com os números calculados:
t=-3 < x=0{,}125 \quad(\text{verdadeiro}),
x=0{,}125 < z=2 \quad(\text{verdadeiro}),
z=2 < w=4 \quad(\text{verdadeiro}),
w=4 < y=8 \quad(\text{verdadeiro}).
Como todas as quatro desigualdades são verdadeiras, a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 4

Verificar a afirmação (b): se (z,w,y) é uma P.A.
Definição: três números a_{1},a_{2},a_{3} estão em P.A. se a diferença entre termos consecutivos for constante, ou seja, a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}.
Calcular as diferenças:
w-z=4-2=2,
y-w=8-4=4.
Como 2\neq 4, as diferenças não são iguais, então (z,w,y) NÃO é uma P.A. Portanto (b) é falsa.

Passo 5

Verificar a afirmação (c): t+w<x.
Calcular t+w:
t+w=-3+4=1.
Comparar com x=0{,}125:
1 < 0{,}125 \quad\text{?}
Isso é falso (na verdade 1>0{,}125). Logo a afirmação (c) é falsa.

Passo 6

Verificar a afirmação (d): w^{\frac{1}{z}} não é um número inteiro.
Calcular w^{\frac{1}{z}} usando os valores encontrados:
w^{\frac{1}{z}}=4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2.
Como 2 é um número inteiro, a afirmação “não é um número inteiro” é falsa. Portanto (d) é falsa.

Passo 7

Conclusão final: somente a afirmação (a) é verdadeira; (b), (c) e (d) são falsas. Boa! Você já tem todas as comparações e justificativas claras — respira, isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova.

Resposta

a) Verdadeira
b) Falsa
c) Falsa
d) Falsa

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