(U. F. São Carlos-SP) Adotando-se
, o valor de
é igual a
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
- Dados:
e . - Pedido: calcular
.
Observações que pegamos do enunciado:
- A base
equivale a . - Os símbolos
dados (em e ) são logaritmos na mesma base (normalmente base 10 em provas brasileiras), portanto vale . Vou usar isso explicitamente quando for necessário.
Passo 2
Lembra da fórmula de mudança de base — ela é a ferramenta-chave aqui. A fórmula diz:
onde
no numerador e no denominador são logaritmos na mesma base fixa (por exemplo base 10).
Explicando com calma: mede “quantas vezes” a base
tem de ser multiplicada para dar
. A fórmula de mudança de base permite escrever esse número como a razão entre dois logaritmos numa base conveniente (aqui usaremos a mesma base dos
e
).
Explicando com calma:
Passo 3
Aplicando a mudança de base para a nossa expressão:
Aqui
à direita é o mesmo tipo de
que aparece em
e
(assumimos base 10), portanto podemos expressar
e
em termos de
e
.
Passo 4
Vamos escrever
em termos de
e
. Primeiro fatoramos
:
Usando a propriedade
e
, temos:
Passo 5
Agora expressamos
usando
. Note que
, então
Como estamos assumindo logs na base 10,
. Portanto
Passo 6
Substituindo
e
em
:
Passo 7
Agora calculamos o denominador
em termos de
e
:
Passo 8
Finalmente, substituindo numerador e denominador na mudança de base: