(U. F. São Carlos-SP) Adotando-se \log 2=\mathrm{a} \mathrm{e} \log 3=\mathrm{b}, o valor de \log _{1,5} 135 é igual a
a) \frac{3 a b}{b-a}
b) \frac{2 b-a+1}{2 b-a}
c) \frac{3 b-a}{b-a}
d) \frac{3 b+a}{b-a}

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
  • Dados: \log 2 = a e \log 3 = b.
  • Pedido: calcular \log_{1,5} 135.
Observações que pegamos do enunciado:
  • A base 1,5 equivale a \tfrac{3}{2}.
  • Os símbolos \log dados (em a e b) são logaritmos na mesma base (normalmente base 10 em provas brasileiras), portanto vale \log 10 = 1. Vou usar isso explicitamente quando for necessário.

Passo 2

Lembra da fórmula de mudança de base — ela é a ferramenta-chave aqui. A fórmula diz:
\log_{u} v = \frac{\log v}{\log u},
onde \log no numerador e no denominador são logaritmos na mesma base fixa (por exemplo base 10).
Explicando com calma: \log_{u} v mede “quantas vezes” a base u tem de ser multiplicada para dar v. A fórmula de mudança de base permite escrever esse número como a razão entre dois logaritmos numa base conveniente (aqui usaremos a mesma base dos a e b).

Passo 3

Aplicando a mudança de base para a nossa expressão:
\log_{1,5} 135 = \log_{\tfrac{3}{2}} 135 = \frac{\log 135}{\log\!\left(\tfrac{3}{2}\right)}.
Aqui \log à direita é o mesmo tipo de \log que aparece em a e b (assumimos base 10), portanto podemos expressar \log 135 e \log(\tfrac{3}{2}) em termos de a e b.

Passo 4

Vamos escrever \log 135 em termos de \log 2 e \log 3. Primeiro fatoramos 135:
135 = 27\cdot 5 = 3^{3}\cdot 5.
Usando a propriedade \log(xy)=\log x + \log y e \log(x^{k})=k\log x, temos:
\log 135 = \log\!\left(3^{3}\cdot 5\right) = 3\log 3 + \log 5.

Passo 5

Agora expressamos \log 5 usando a=\log 2. Note que 5=\dfrac{10}{2}, então
\log 5 = \log\!\left(\frac{10}{2}\right) = \log 10 - \log 2.
Como estamos assumindo logs na base 10, \log 10 = 1. Portanto
\log 5 = 1 - \log 2 = 1 - a.

Passo 6

Substituindo \log 3 = b e \log 5 = 1-a em \log 135:
\log 135 = 3\log 3 + \log 5 = 3b + (1 - a) = 3b - a + 1.

Passo 7

Agora calculamos o denominador \log\!\left(\tfrac{3}{2}\right) em termos de a e b:
\log\!\left(\tfrac{3}{2}\right) = \log 3 - \log 2 = b - a.

Passo 8

Finalmente, substituindo numerador e denominador na mudança de base:
\log_{1,5} 135 = \frac{\log 135}{\log\!\left(\tfrac{3}{2}\right)} = \frac{3b - a + 1}{\,b - a\,}.

Resposta

\displaystyle \frac{3b - a + 1}{b - a}

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