(U.F. Lavras-MG) Sendo log o logaritmo decimal e a e
números reais positivos, estão corretas as alternativas, exceto:
a)
b)
sendo
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pergunta: quais das alternativas a seguir estão corretas, exceto uma (ou seja, identificar a alternativa falsa). As alternativas dadas são (peguei-as exatamente do enunciado):
a)
b)
sendo
c)
d)
Informações relevantes do enunciado:
e
são números reais positivos; o logaritmo indicado é o logaritmo decimal (base
).
Passo 2
Lembrete das propriedades de logaritmos essenciais (e o porquê delas):
- Definição:
significa . Ou seja, é o número tal que . - Produto vira soma: para
e ,
Explicação: se
e
, então
e
, logo
e
.
- Potência puxa fator: para
e número real ,
Explicação:
, logo o logaritmo é
.
- Log de potência de 10: para qualquer real
,
porque
é a definição direta da função inversa do logaritmo base
.
- Identidade de potência-exponencial: para qualquer
e ,
Isso é apenas a regra de potências.
Vou usar essas propriedades passo a passo para checar cada alternativa.
Passo 3
Verificando a alternativa (a).
Usando
com
e
, temos
Somando os dois lados:
Portanto a alternativa (a) é verdadeira.
Passo 4
Verificando a alternativa (b).
Aplicando a propriedade do produto para somar logaritmos:
O lado direito proposto é
As duas expressões seriam iguais somente se os argumentos do logaritmo forem iguais, ou seja se
Mas o enunciado afirma que
é positivo,
, então
e a igualdade não vale em geral. Logo a afirmação dada em (b) é falsa.
Um exemplo numérico simples para ver concretamente:
pegue e
. Então
pegue
enquanto
Como
, a igualdade falha. Confirma-se que (b) é incorreta.
Passo 5
Verificando a alternativa (c).
Primeiro simplifico a expressão usando propriedades de potências e logaritmos:
Então
Restando a soma com
. Como
, vale
Portanto a expressão total vale
, que coincide com o lado direito da igualdade. Logo (c) é verdadeira.
Passo 6
Verificando a alternativa (d).
Começo pela identidade básica:
é um número tal que
. Elevando ambos os lados à potência
,
Pela regra de potências, o lado esquerdo é
. Então
o que é exatamente a igualdade dada. Portanto (d) é verdadeira.
Passo 7
Como verificado: (a) é verdadeira, (c) é verdadeira, (d) é verdadeira, e (b) é falsa. A alternativa que está incorreta (a exceção) é a (b).
Resposta
b)