(U.F. Lavras-MG) Sendo log o logaritmo decimal e a e b números reais positivos, estão corretas as alternativas, exceto:
a) \log \left(10^{\mathrm{a}}\right)+\log \left(10^{\mathrm{b}}\right)=\mathrm{a}+\mathrm{b}
b) \log (a+b)+\log (a-b)=2 \log (a) sendo a>b
c) \log \left(a^{2} b^{2}\right)-2 \log (a \cdot b)+\log \left(\frac{1}{10}\right)=-1
d) 10^{\mathrm{b} \log \mathrm{a}}=a^{\mathrm{b}}

Passo 1

O enunciado pergunta: quais das alternativas a seguir estão corretas, exceto uma (ou seja, identificar a alternativa falsa). As alternativas dadas são (peguei-as exatamente do enunciado):
a) \log\left(10^{\mathrm{a}}\right)+\log\left(10^{\mathrm{b}}\right)=\mathrm{a}+\mathrm{b}
b) \log(a+b)+\log(a-b)=2\log(a) sendo a>b
c) \log\left(a^{2} b^{2}\right)-2\log(a\cdot b)+\log\left(\frac{1}{10}\right)=-1
d) 10^{\mathrm{b}\log \mathrm{a}}=a^{\mathrm{b}}
Informações relevantes do enunciado: a e b são números reais positivos; o logaritmo indicado é o logaritmo decimal (base 10).

Passo 2

Lembrete das propriedades de logaritmos essenciais (e o porquê delas):
  • Definição: \log x significa \log_{10} x. Ou seja, \log x é o número y tal que 10^{y}=x.
  • Produto vira soma: para x>0 e y>0,
\log(xy)=\log x+\log y.
Explicação: se \log x = u e \log y = v, então x=10^{u} e y=10^{v}, logo xy=10^{u+v} e \log(xy)=u+v=\log x+\log y.
  • Potência puxa fator: para x>0 e número real k,
\log(x^{k})=k\log x.
Explicação: x^{k}=(10^{\log x})^{k}=10^{k\log x}, logo o logaritmo é k\log x.
  • Log de potência de 10: para qualquer real t,
\log(10^{t})=t,
porque 10^{t} é a definição direta da função inversa do logaritmo base 10.
  • Identidade de potência-exponencial: para qualquer u e b,
10^{b\cdot u}=(10^{u})^{b}.
Isso é apenas a regra de potências.
Vou usar essas propriedades passo a passo para checar cada alternativa.

Passo 3

Verificando a alternativa (a).
Usando \log(10^{t})=t com t=\mathrm{a} e t=\mathrm{b}, temos
\log\left(10^{\mathrm{a}}\right)=\mathrm{a}, \qquad \log\left(10^{\mathrm{b}}\right)=\mathrm{b}.
Somando os dois lados:
\log\left(10^{\mathrm{a}}\right)+\log\left(10^{\mathrm{b}}\right)=\mathrm{a}+\mathrm{b}.
Portanto a alternativa (a) é verdadeira.

Passo 4

Verificando a alternativa (b).
Aplicando a propriedade do produto para somar logaritmos:
\log(a+b)+\log(a-b)=\log\big((a+b)(a-b)\big)=\log\big(a^{2}-b^{2}\big).
O lado direito proposto é
2\log(a)=\log\big(a^{2}\big).
As duas expressões seriam iguais somente se os argumentos do logaritmo forem iguais, ou seja se
a^{2}-b^{2}=a^{2}\quad\Longrightarrow\quad -b^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad b=0.
Mas o enunciado afirma que b é positivo, b>0, então b\neq0 e a igualdade não vale em geral. Logo a afirmação dada em (b) é falsa.
Um exemplo numérico simples para ver concretamente:
pegue a=2 e b=1. Então
\log(a+b)+\log(a-b)=\log 3+\log 1=\log 3+0=\log 3,
enquanto
2\log a=2\log 2=\log 4.
Como \log 3\neq\log 4, a igualdade falha. Confirma-se que (b) é incorreta.

Passo 5

Verificando a alternativa (c).
Primeiro simplifico a expressão usando propriedades de potências e logaritmos:
\log\left(a^{2} b^{2}\right)=\log\big((ab)^{2}\big)=2\log(ab).
Então
\log\left(a^{2} b^{2}\right)-2\log(a\cdot b)=2\log(ab)-2\log(ab)=0.
Restando a soma com \log\left(\dfrac{1}{10}\right). Como \dfrac{1}{10}=10^{-1}, vale
\log\left(\frac{1}{10}\right)=\log\left(10^{-1}\right)=-1.
Portanto a expressão total vale 0+(-1)=-1, que coincide com o lado direito da igualdade. Logo (c) é verdadeira.

Passo 6

Verificando a alternativa (d).
Começo pela identidade básica: \log a é um número tal que 10^{\log a}=a. Elevando ambos os lados à potência b,
\big(10^{\log a}\big)^{b}=a^{b}.
Pela regra de potências, o lado esquerdo é 10^{b\log a}. Então
10^{b\log a}=a^{b},
o que é exatamente a igualdade dada. Portanto (d) é verdadeira.

Passo 7

Como verificado: (a) é verdadeira, (c) é verdadeira, (d) é verdadeira, e (b) é falsa. A alternativa que está incorreta (a exceção) é a (b).

Resposta

b)

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