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Formula 2,5 pontos

Considere um plano condutor com densidade de carga \mathrm{s} 1=\left(9,3^{*} 10^{-10}\right) \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} e uma esfera condutora de raio 5 cm carregada com carga \mathrm{Qesf}=\left(5,8^{*} 10^{-10}\right) \mathrm{C}.
Considere a esfera à direita do plano, tal que a distância do centro desta ao plano é 59 cm .
Dê o valor do Campo resultante à meia distância do centro da esfera e o plano em módulo com1 casa decimal.

Resposta

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Densidade de carga do plano condutor: \sigma = \left(9,3\times10^{-10}\right)\\ \mathrm{C/m^{2}}.
  • Esfera condutora de raio 5\\ \mathrm{cm}. Ou seja, R_{\text{esf}} = 5\\ \mathrm{cm} = 0,05\\ \mathrm{m}.
  • Carga total da esfera: Q_{\text{esf}} = \left(5,8\times10^{-10}\right)\\ \mathrm{C}.
  • Distância do centro da esfera ao plano: d = 59\\ \mathrm{cm} = 0,59\\ \mathrm{m}.
O que é pedido:
  • Valor do módulo do campo elétrico resultante no ponto que fica à meia distância entre o centro da esfera e o plano (isto é, no ponto situado no segmento que une o centro ao plano, exatamente no meio desse segmento). Pedir o resultado com uma casa decimal e em módulo (valor absoluto).

Passo 2

Determinar a posição numérica do ponto pedido e verificar se ele está fora da esfera (para saber qual fórmula aplicar).
  • A meia distância entre centro e plano corresponde a metade de d:
r_{\text{ponto}}=\frac{d}{2}=\frac{0,59}{2}=0,295\\ \mathrm{m}.
  • Distância do ponto ao centro da esfera é r_{\text{ponto}}=0,295\\ \mathrm{m}. Comparando com o raio da esfera:
r_{\text{ponto}}=0,295\\ \mathrm{m} > R_{\text{esf}}=0,05\\ \mathrm{m},
ou seja, o ponto está fora da esfera. Portanto, o campo da esfera no ponto pode ser tratado como o campo de uma carga pontual Q_{\text{esf}} colocada no centro (campo externo de esfera condutora).

Passo 3

Campo elétrico produzido pelo plano condutor (explicação e fórmula).
  • Para um plano condutor plano e extenso, em equilíbrio eletrostático a componente normal do campo fora do condutor vale
E_{\text{plano}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
onde \sigma é a densidade superficial de carga e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Aqui usa-se esse resultado porque o plano é condutor e a superfície externa tem densidade \sigma; o campo fora do condutor voltado para fora tem magnitude \sigma/\varepsilon_0.
  • Valor numérico usado: \varepsilon_0\approx8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Cálculo numérico:
E_{\text{plano}}=\frac{9,3\times10^{-10}}{8,854\times10^{-12}} \approx 105,0\\ \mathrm{N/C}.
(Interpretação física curta: como \sigma>0, o campo gerado pelo plano aponta para fora do plano; no lado entre plano e esfera isso significa aponta na direção do centro da esfera — ou seja, para a direita se o plano fica à esquerda.)

Passo 4

Campo elétrico produzido pela esfera condutora no ponto (explicação e fórmula).
  • Para um ponto externo a uma esfera condutora com carga Q_{\text{esf}}, o campo é igual ao campo de uma carga pontual Q_{\text{esf}} localizada no centro da esfera:
E_{\text{esf}}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{esf}}}{r^{2}},
onde r é a distância do ponto ao centro da esfera. A constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8,987551792\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
No nosso caso r=r_{\text{ponto}}=0,295\\ \mathrm{m}. Cálculo numérico:
k=\;8,987551792\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},
k\,Q_{\text{esf}}=(8,987551792\times10^{9})\times(5,8\times10^{-10}) \approx 5,2128\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C},
r^{2}=(0,295)^{2}=0,087025\\ \mathrm{m^{2}},
E_{\text{esf}}=\frac{k\,Q_{\text{esf}}}{r^{2}} \approx\frac{5,2128}{0,087025}\approx59,9\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Direções dos campos no ponto e soma vetorial (cálculo do campo resultante em módulo).
  • Como \sigma>0, o campo do plano no lado entre plano e esfera aponta para longe do plano, ou seja, em direção ao centro da esfera (vamos chamar essa direção de +x, para a direita).
  • Como Q_{\text{esf}}>0, o campo da esfera em pontos à esquerda do centro (nos pontos entre esfera e plano) aponta para a esquerda (afasta-se do centro). Logo, no ponto estudado os campos da esfera e do plano têm sentidos opostos.
  • Assim, o módulo do campo resultante é a diferença dos módulos:
E_{\text{res}}=\big|E_{\text{plano}}-E_{\text{esf}}\big|.
Substituindo os valores calculados:
E_{\text{res}}=\big|105,0-59,9\big|\\ \mathrm{N/C}=45,1\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando com uma casa decimal conforme pedido:
E_{\text{res}}\approx45,2\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

45,2\\ \mathrm{N/C}

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