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Formula 2,5 pontos
Considere um plano condutor com densidade de carga
e uma esfera condutora de raio 5 cm carregada com carga
.
Considere a esfera à direita do plano, tal que a distância do centro desta ao plano é 59 cm .
Dê o valor do Campo resultante à meia distância do centro da esfera e o plano em módulo com1 casa decimal.
Resposta
Formula 2,5 pontos
Dê o valor do Campo resultante à meia distância do centro da esfera e o plano em módulo com1 casa decimal.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- Densidade de carga do plano condutor:
. - Esfera condutora de raio
. Ou seja, - Carga total da esfera:
- Distância do centro da esfera ao plano:
O que é pedido:
- Valor do módulo do campo elétrico resultante no ponto que fica à meia distância entre o centro da esfera e o plano (isto é, no ponto situado no segmento que une o centro ao plano, exatamente no meio desse segmento). Pedir o resultado com uma casa decimal e em módulo (valor absoluto).
Passo 2
Determinar a posição numérica do ponto pedido e verificar se ele está fora da esfera (para saber qual fórmula aplicar).
- A meia distância entre centro e plano corresponde a metade de
:
- Distância do ponto ao centro da esfera é
. Comparando com o raio da esfera:
ou seja, o ponto está fora da esfera. Portanto, o campo da esfera no ponto pode ser tratado como o campo de uma carga pontual
colocada no centro (campo externo de esfera condutora).
Passo 3
Campo elétrico produzido pelo plano condutor (explicação e fórmula).
- Para um plano condutor plano e extenso, em equilíbrio eletrostático a componente normal do campo fora do condutor vale
onde
é a densidade superficial de carga e
é a permissividade do vácuo. Aqui usa-se esse resultado porque o plano é condutor e a superfície externa tem densidade
; o campo fora do condutor voltado para fora tem magnitude
.
- Valor numérico usado:
Cálculo numérico:
(Interpretação física curta: como
, o campo gerado pelo plano aponta para fora do plano; no lado entre plano e esfera isso significa aponta na direção do centro da esfera — ou seja, para a direita se o plano fica à esquerda.)
Passo 4
Campo elétrico produzido pela esfera condutora no ponto (explicação e fórmula).
- Para um ponto externo a uma esfera condutora com carga
, o campo é igual ao campo de uma carga pontual localizada no centro da esfera:
onde
é a distância do ponto ao centro da esfera. A constante
.
No nosso caso
. Cálculo numérico:
Passo 5
Direções dos campos no ponto e soma vetorial (cálculo do campo resultante em módulo).
- Como
, o campo do plano no lado entre plano e esfera aponta para longe do plano, ou seja, em direção ao centro da esfera (vamos chamar essa direção de +x, para a direita). - Como
, o campo da esfera em pontos à esquerda do centro (nos pontos entre esfera e plano) aponta para a esquerda (afasta-se do centro). Logo, no ponto estudado os campos da esfera e do plano têm sentidos opostos. - Assim, o módulo do campo resultante é a diferença dos módulos:
Substituindo os valores calculados:
Arredondando com uma casa decimal conforme pedido: