(Uece)Sejam os conjuntos
tais que
e
é múltiplo de 2
K ex é múltiplo de 3},
e
é múltiplo de 5}. Se
, então, o número de subconjuntos de V é
a) 8 .
b) 16 .
c) 12 .
a) 8 .
b) 16 .
c) 12 .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Conjuntos dados:
-
. -
é múltiplo de . -
é múltiplo de . -
é múltiplo de .
-
- Definição alvo:
. - Pergunta: determinar o número de subconjuntos de
. As alternativas são: - (a)
. - (b)
. - (c)
.
- (a)
Passo 2
Entender o que significa
: um elemento
pertence a
se, e somente se,
e
é múltiplo de
, de
e de
ao mesmo tempo. Isso equivale a dizer que
é múltiplo do mínimo múltiplo comum de
.
Explicação sobre MMC/LCM:
- O mínimo múltiplo comum de alguns inteiros é o menor inteiro positivo que é múltiplo de todos eles.
- Aqui
e . Logo . - Portanto,
é múltiplo simultaneamente de iff é múltiplo de .
Passo 3
Agora contar quantos múltiplos de
existem em
.
- Observação sobre
: é o conjunto dos naturais entre e inclusive, ou seja, . - Regra para contar múltiplos: o número de múltiplos de um inteiro
no intervalo é , porque os múltiplos são até o maior . - Aplicando com
e : - Um exemplo pequeno para fixar: para
e , , e os múltiplos são .
Passo 4
Concluímos que
. Podemos listar explicitamente os elementos de
(pegando os múltiplos de
no intervalo
a
):
Passo 5
Agora precisamos do número de subconjuntos de um conjunto com
elementos.
- Fato importante (explicado): para cada elemento de um conjunto há duas decisões independentes ao formar um subconjunto: incluí-lo ou não incluí-lo. Assim, para
elementos há ( vezes) possibilidades, isto é, . - Exemplo curto: se
e o conjunto é , os subconjuntos são , total .
Passo 6
Aplicando a fórmula com
:
Para completar, os subconjuntos de
são
— ao todo .
— ao todo
Passo 7
Comparando com as alternativas do enunciado, a opção correta é a que afirma
subconjuntos.
Resposta
a) 8.