(Uece)Sejam os conjuntos K=\{x \in \mathbb{N} tais que 0<x<100\}, \quad X=\{x \in K e x é múltiplo de 2 \}, \quad Y=\{x \in K ex é múltiplo de 3}, Z=\{x \in K e x é múltiplo de 5}. Se V=X \cap Y \cap Z, então, o número de subconjuntos de V é
a) 8 .
b) 16 .
c) 12 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Conjuntos dados:
    • K=\{x\in\mathbb{N}\mid 0<x<100\}.
    • X=\{x\in K\mid x é múltiplo de 2\}.
    • Y=\{x\in K\mid x é múltiplo de 3\}.
    • Z=\{x\in K\mid x é múltiplo de 5\}.
  • Definição alvo: V = X\cap Y\cap Z.
  • Pergunta: determinar o número de subconjuntos de V. As alternativas são:
    • (a) 8.
    • (b) 16.
    • (c) 12.

Passo 2

Entender o que significa V=X\cap Y\cap Z: um elemento x pertence a V se, e somente se, x\in K e x é múltiplo de 2, de 3 e de 5 ao mesmo tempo. Isso equivale a dizer que x é múltiplo do mínimo múltiplo comum de 2,3,5.
Explicação sobre MMC/LCM:
  • O mínimo múltiplo comum de alguns inteiros é o menor inteiro positivo que é múltiplo de todos eles.
  • Aqui \mathrm{lcm}(2,3)=6 e \mathrm{lcm}(6,5)=30. Logo \mathrm{lcm}(2,3,5)=30.
  • Portanto, x é múltiplo simultaneamente de 2,3,5 iff x é múltiplo de 30.

Passo 3

Agora contar quantos múltiplos de 30 existem em K.
  • Observação sobre K: K é o conjunto dos naturais entre 1 e 99 inclusive, ou seja, K=\{1,2,\dots,99\}.
  • Regra para contar múltiplos: o número de múltiplos de um inteiro m no intervalo \{1,\dots,N\} é \left\lfloor\dfrac{N}{m}\right\rfloor, porque os múltiplos são m,2m,3m,\dots até o maior km\le N.
  • Aplicando com m=30 e N=99: \left\lfloor\dfrac{99}{30}\right\rfloor = \left\lfloor 3{,}3\overline{3}\right\rfloor = 3.
  • Um exemplo pequeno para fixar: para m=4 e N=10, \left\lfloor\dfrac{10}{4}\right\rfloor=2, e os múltiplos são 4,8.

Passo 4

Concluímos que |V|=3. Podemos listar explicitamente os elementos de V (pegando os múltiplos de 30 no intervalo 1 a 99):
V=\{30,\;60,\;90\}.

Passo 5

Agora precisamos do número de subconjuntos de um conjunto com n elementos.
  • Fato importante (explicado): para cada elemento de um conjunto há duas decisões independentes ao formar um subconjunto: incluí-lo ou não incluí-lo. Assim, para n elementos há 2\cdot 2\cdots 2 ( n vezes) possibilidades, isto é, 2^n.
  • Exemplo curto: se n=2 e o conjunto é \{a,b\}, os subconjuntos são \varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}, total 2^2=4.

Passo 6

Aplicando a fórmula com n=|V|=3:
\text{nº de subconjuntos de }V = 2^{|V|} = 2^3 = 8.º
Para completar, os subconjuntos de V são
\varnothing,\{30\},\{60\},\{90\},\{30,60\},\{30,90\},\{60,90\},\{30,60,90\}
— ao todo 8.

Passo 7

Comparando com as alternativas do enunciado, a opção correta é a que afirma 8 subconjuntos.

Resposta

a) 8.

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