(Ufjf-pism 1) Dados dois conjuntos, X e Y , usamos o símbolo
para indicar os elementos de
que não estão em Y. Ao saber disso, um agente especial descobriu o mês de nascimento de um espião. Ele usou as seguintes informações:
I. Os meses do ano seguem a ordem em que aparecem no calendário gregoriano e estão listados no conjunto
{1,2, …,11,12};
II. A é o conjunto dos meses ímpares de M;
III. B é formado pelos meses que deixam resto 1 na divisão por 5;
IV.
.
A última e decisiva pista encontrada: “o espião nasceu em um mês par de C”. Qual foi o mês descoberto?
a) Dezembro
b) Outubro
c) Agosto
d) Junho
I. Os meses do ano seguem a ordem em que aparecem no calendário gregoriano e estão listados no conjunto
II. A é o conjunto dos meses ímpares de M;
III. B é formado pelos meses que deixam resto 1 na divisão por 5;
IV.
a) Dezembro
b) Outubro
c) Agosto
d) Junho
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para identificar o mês que o agente descobriu. Vou listar claramente o que foi dado:
- Os meses do ano estão representados pelo conjunto
, onde = janeiro, = fevereiro, …, = dezembro. -
é o conjunto dos meses ímpares de . -
é o conjunto dos meses que deixam resto na divisão por . -
. - A pista final: "o espião nasceu em um mês par de
".
O que se pede: determinar qual mês (entre as alternativas dadas) corresponde a essa pista.
Passo 2
Entender e construir o conjunto
(meses ímpares).
- Um número inteiro é ímpar quando não é divisível por
; exemplos: . - Portanto os meses ímpares de
são
Expliquei: aqui cada elemento é um número de mês que é ímpar.
Passo 3
Entender e construir o conjunto
(meses que deixam resto
na divisão por
).
- Quando dizemos "um número deixa resto
na divisão por ", isso significa que o número é congruente a módulo ; em símbolos, . - Na faixa de
a , os números congruentes a mod são , e (pois , , ). - Logo
Passo 4
Calcular a interseção
.
- A interseção contém os elementos que estão em ambos
e . - Comparando
e , os elementos comuns são e . - Assim
Passo 5
Calcular a união
.
- A união contém todos os elementos que estão em
, em , ou em ambos. - Juntando os elementos sem repetir: de
temos e de temos ; incluindo que não estava em , obtemos
Passo 6
Calcular
e interpretar.
- A operação
significa: elementos de que não estão em . - Aplicando isso,
- Removendo
e da união, sobra
- Observação didática: essa operação é a diferença simétrica entre
e (ou seja, elementos que estão em exatamente um dos conjuntos), e aqui o resultado está explícito.
Passo 7
Aplicar a última pista: o mês é um mês par de
.
- Paridade: um número é par quando é divisível por
. - Olhando para
, o único elemento par é . - Portanto o mês descoberto corresponde ao número
. - Mapeando número para nome do mês:
= junho.
Resposta
d) Junho