(Ufjf-pism 1) Dados dois conjuntos, X e Y , usamos o símbolo X-Y para indicar os elementos de X que não estão em Y. Ao saber disso, um agente especial descobriu o mês de nascimento de um espião. Ele usou as seguintes informações:
I. Os meses do ano seguem a ordem em que aparecem no calendário gregoriano e estão listados no conjunto M= {1,2, …,11,12};
II. A é o conjunto dos meses ímpares de M;
III. B é formado pelos meses que deixam resto 1 na divisão por 5;
IV. C=(A \cup B)-(A \cap B).
A última e decisiva pista encontrada: “o espião nasceu em um mês par de C”. Qual foi o mês descoberto?
a) Dezembro
b) Outubro
c) Agosto
d) Junho

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para identificar o mês que o agente descobriu. Vou listar claramente o que foi dado:
  • Os meses do ano estão representados pelo conjunto M=\{1,2,\ldots,12\}, onde 1 = janeiro, 2 = fevereiro, …, 12 = dezembro.
  • A é o conjunto dos meses ímpares de M.
  • B é o conjunto dos meses que deixam resto 1 na divisão por 5.
  • C=(A\cup B)-(A\cap B).
  • A pista final: "o espião nasceu em um mês par de C".
O que se pede: determinar qual mês (entre as alternativas dadas) corresponde a essa pista.

Passo 2

Entender e construir o conjunto A (meses ímpares).
  • Um número inteiro é ímpar quando não é divisível por 2; exemplos: 1,3,5,\dots.
  • Portanto os meses ímpares de M são
A=\{1,3,5,7,9,11\}.
Expliquei: aqui cada elemento é um número de mês que é ímpar.

Passo 3

Entender e construir o conjunto B (meses que deixam resto 1 na divisão por 5).
  • Quando dizemos "um número deixa resto 1 na divisão por 5", isso significa que o número é congruente a 1 módulo 5; em símbolos, n\equiv1\pmod{5}.
  • Na faixa de 1 a 12, os números congruentes a 1 mod 5 são 1, 6 e 11 (pois 1=5\cdot0+1, 6=5\cdot1+1, 11=5\cdot2+1).
  • Logo
B=\{1,6,11\}.

Passo 4

Calcular a interseção A\cap B.
  • A interseção contém os elementos que estão em ambos A e B.
  • Comparando A=\{1,3,5,7,9,11\} e B=\{1,6,11\}, os elementos comuns são 1 e 11.
  • Assim
A\cap B=\{1,11\}.

Passo 5

Calcular a união A\cup B.
  • A união contém todos os elementos que estão em A, em B, ou em ambos.
  • Juntando os elementos sem repetir: de A temos 1,3,5,7,9,11 e de B temos 1,6,11; incluindo 6 que não estava em A, obtemos
A\cup B=\{1,3,5,6,7,9,11\}.

Passo 6

Calcular C=(A\cup B)-(A\cap B) e interpretar.
  • A operação X-Y significa: elementos de X que não estão em Y.
  • Aplicando isso,
C=(A\cup B)-(A\cap B)=\{1,3,5,6,7,9,11\}-\{1,11\}.
  • Removendo 1 e 11 da união, sobra
C=\{3,5,6,7,9\}.
  • Observação didática: essa operação é a diferença simétrica entre A e B (ou seja, elementos que estão em exatamente um dos conjuntos), e aqui o resultado está explícito.

Passo 7

Aplicar a última pista: o mês é um mês par de C.
  • Paridade: um número é par quando é divisível por 2.
  • Olhando para C=\{3,5,6,7,9\}, o único elemento par é 6.
  • Portanto o mês descoberto corresponde ao número 6.
  • Mapeando número para nome do mês: 6 = junho.

Resposta

d) Junho

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