(Uemg) O tempo é um rio que corre. O tempo não é um relógio. Ele é muito mais do que isso. O tempo passa, quer se tenha um relógio ou não. Uma pessoa quer atravessar um rio num local onde a distância entre as margens é de 50 m . Para isso, ela orienta o seu barco perpendicularmente às margens. Considere que a velocidade do barco em relação às águas seja de
e que a correnteza tenha uma velocidade de
.
Sobre a travessia desse barco, assinale a afirmação CORRETA:
a) Se a correnteza não existisse, o barco levaria 25 s para atravessar o rio. Com a correnteza, o barco levaria mais do que 25 s na travessia.
b) Como a velocidade do barco é perpendicular às margens, a correnteza não afeta o tempo de travessia.
c) O tempo de travessia, em nenhuma situação, seria afetado pela correnteza.
d) Com a correnteza, o tempo de travessia do barco seria menor que 25 s , pois a correnteza aumenta vetorialmente a velocidade do barco.
a) Se a correnteza não existisse, o barco levaria 25 s para atravessar o rio. Com a correnteza, o barco levaria mais do que 25 s na travessia.
b) Como a velocidade do barco é perpendicular às margens, a correnteza não afeta o tempo de travessia.
c) O tempo de travessia, em nenhuma situação, seria afetado pela correnteza.
d) Com a correnteza, o tempo de travessia do barco seria menor que 25 s , pois a correnteza aumenta vetorialmente a velocidade do barco.
Passo 1
O enunciado pede que se escolha a afirmação CORRETA entre as alternativas dadas sobre a travessia de um barco. As informações relevantes fornecidas são:
- distância entre as margens:
; - velocidade do barco em relação às águas:
; - velocidade da correnteza:
; - o barco é orientado perpendicularmente às margens (isto é, a velocidade do barco em relação à água aponta perpendicular às margens).
O objetivo é decidir qual alternativa (a), (b), (c) ou (d) está correta.
Passo 2
Primeiro calculo o tempo de travessia quando NÃO há correnteza, para ter uma referência. A fórmula básica para tempo quando a velocidade é perpendicular à margem é
Denotando a distância por
e a velocidade perpendicular por
, temos
Substituindo
e
,
Portanto, sem correnteza o barco leva
para atravessar.
Passo 3
Agora preciso entender o efeito da correnteza. É útil pensar em velocidades como vetores e usar a regra de soma vetorial:
-
= velocidade do barco em relação à água (apontando perpendicular às margens); -
= velocidade da correnteza (paralela às margens, ao longo do rio); -
= velocidade do barco em relação ao solo (observador em margem).
A relação vetorial é
O tempo para atravessar depende apenas da componente de
perpendicular às margens, porque é essa componente que “vence” a distância entre as margens.
Passo 4
Como a velocidade do barco em relação à água
é perpendicular às margens, ela tem somente componente perpendicular:
. A correnteza
é paralela às margens e, portanto, NÃO tem componente perpendicular. Logo, a componente perpendicular da velocidade do barco em relação ao solo é igual à componente perpendicular em relação à água:
Aplicando novamente a fórmula do tempo,
Portanto, com a correnteza (mantendo o barco orientado perpendicularmente às margens em relação à água) o tempo de travessia continua sendo
. A correnteza não mudou a componente perpendicular que determina o tempo.
Passo 5
Para consolidar a intuição: a correnteza altera a componente ao longo do rio (faz o barco derivar rio abaixo), mas não altera a componente que atravessa o rio. Pode-se calcular a velocidade resultante e o desvio:
mas esse valor é a magnitude do vetor resultado; o que importa para o tempo é apenas
.
O desvio ao longo do rio durante a travessia é
O desvio ao longo do rio durante a travessia é
ou seja, o barco termina
rio abaixo da posição oposta na margem — caminho diferente, mesmo tempo igual.
Passo 6
Comparando com as alternativas:
- (a) afirma que com a correnteza o barco levaria mais que
. Errado: o tempo permaneceu . - (b) afirma que, por ser perpendicular, a correnteza não afeta o tempo de travessia. Correto no cenário descrito (velocidade do barco em relação à água perpendicular às margens).
- (c) diz que em nenhuma situação o tempo seria afetado pela correnteza. Falso: em outras situações (por exemplo, se o barco apontar em outra direção para compensar a deriva) a componente perpendicular pode mudar e o tempo muda.
- (d) diz que a correnteza reduziria o tempo porque aumenta vetorialmente a velocidade do barco. Isso confunde magnitude resultante com componente perpendicular; a correnteza aumenta a velocidade resultante mas não a componente perpendicular, então o tempo não diminui.
Portanto a alternativa correta é (b).
Resposta
b)