1.5- A ponte do rio George, na Virgínia do Oeste (EUA), é feita de aço (\alpha=11,0 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) na forma de um arco de 528 m .
Calcule a variação, em m, do comprimento da ponte diante de uma variação de temperatura de -20^{\circ} \mathrm{C} a 35,0^{\circ} \mathrm{C}.
[Halliday; Resnick; Walker, 8 ed/ext, 19 14]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variação do comprimento da ponte quando a temperatura muda de -20^\circ \mathrm{C} para 35,0^\circ \mathrm{C}. Informações dadas:
  • Coeficiente de dilatação linear do aço: \alpha = 11,0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Comprimento inicial da ponte: L_0 = 528\\ \mathrm{m}.
  • Temperaturas: T_{\text{inicial}} = -20^\circ \mathrm{C} e T_{\text{final}} = 35,0^\circ \mathrm{C}.
O que se pede: calcular a variação do comprimento \Delta L em metros quando a temperatura passa de T_{\text{inicial}} para T_{\text{final}}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (dilatação linear):
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T
Explicando cada símbolo:
  • \Delta L é a variação do comprimento (o que queremos calcular), em metros.
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material, em ^\circ\mathrm{C}^{-1}. Indica quanto de comprimento relativo (fração do comprimento) o material ganha por grau de temperatura.
  • L_0 é o comprimento inicial, em metros.
  • \Delta T é a variação de temperatura, em ^\circ\mathrm{C} (ou K, a diferença é a mesma).
Essa fórmula vem da aproximação linear válida para variações de temperatura não muito grandes: o aumento relativo do comprimento é proporcional à variação de temperatura.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}} = 35{,}0^\circ \mathrm{C} - (-20^\circ \mathrm{C}) = 55{,}0^\circ \mathrm{C}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula. Primeiro calculamos o produto inteiro sem usar calculadora de forma direta (fazer passo a passo):
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T = \left(11{,}0\times10^{-6}\right)\times528\times55{,}0.
Calcule 528\times55{,}0 manualmente:
528\times55{,}0 = 528\times(50+5) = 528\times50 + 528\times5 = 26\,400 + 2\,640 = 29\,040.
Agora multiplica por 11{,}0\times10^{-6}:
\Delta L = 11{,}0\times10^{-6}\times29\,040 = (29\,040\times11{,}0)\times10^{-6}.
Calcule 29\,040\times11{,}0 = 29\,040\times11 = 319\,440. Então
\Delta L = 319\,440\times10^{-6}\\ \mathrm{m} = 0{,}31944\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Arredondamento e algarismos significativos: os dados têm, em geral, três algarismos significativos ( \alpha=11{,}0\times10^{-6} tem 3, L_0=528 tem 3). Portanto é razoável apresentar a resposta com três algarismos significativos:
\Delta L \approx 0{,}319\\ \mathrm{m}.
Isso corresponde também a 31{,}9\\ \mathrm{cm}. Força: é uma expansão pequena, cerca de um terço de metro para 55{,}0^\circ\mathrm{C} de aumento.

Resposta

0,319 m

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