(UEPA-2011) Dados da Secretaria Municipal de Meio Ambiente revelam que, em Belém, existem atualmente 240 praças (REVISTA VEJA, 13/01/2010). A intenção da prefeitura é aumentar o número de praças de acordo com o aumento do numero de habitantes. Considerando que
é a função que representa a evolução da quantidade de praças por ano, onde t representa o número de anos decorridos. Desse modo, em quantos anos Belém terá 960 praças?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Atualmente existem
praças em Belém. - A função que representa a evolução do número de praças por ano é dada como
, onde é o número de anos decorridos. - A pergunta do enunciado: em quantos anos Belém terá
praças? (ou seja, achar tal que ).
Observação sobre os dados fornecidos (apenas listando fatos): avaliando a função escrita, temos
o que entra em contradição com a afirmação de que atualmente há
praças (esperaria
). Além disso, para
a função
é decrescente e sempre menor que
, então jamais alcançaria
. Por isso há uma leitura alternativa plausível e compatível com o contexto (a prefeitura pretende aumentar o número de praças): a função provavelmente foi escrita com multiplicação, isto é,
Passo 2
Explicando por que optar pela interpretação
:
- O enunciado fala em aumentar o número de praças conforme cresce a população — isso sugere crescimento, não diminuição.
- Com
tem-se , conforme a informação inicial. - A outra forma escrita (
) implicaria queda e impossibilidade de chegar a .
Vou, portanto, resolver o problema usando a função
porque é a interpretação razoável e consistente com o contexto.
Passo 3
Conceito útil: equações exponenciais. Para resolver uma equação do tipo
com
,
e
, podemos usar logaritmos:
. Outra forma prática é reescrever
como potência de
(quando possível) e igualar os expoentes.
No nosso caso a incógnita aparece no expoente: queremos achar
em
Vamos usar álgebra simples (dividir ambos lados por
) e, quando possível, reconhecer potências de
.
Passo 4
Resolver passo a passo:
Dividindo ambos os lados por
:
Calcule a fração:
logo
Reconhecendo
como potência de
:
portanto, igualando expoentes,
Fazendo a checagem:
confere.