(UEPA-2011) Dados da Secretaria Municipal de Meio Ambiente revelam que, em Belém, existem atualmente 240 praças (REVISTA VEJA, 13/01/2010). A intenção da prefeitura é aumentar o número de praças de acordo com o aumento do numero de habitantes. Considerando que f(t)=(240)-2^{t} é a função que representa a evolução da quantidade de praças por ano, onde t representa o número de anos decorridos. Desse modo, em quantos anos Belém terá 960 praças?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Atualmente existem 240 praças em Belém.
  • A função que representa a evolução do número de praças por ano é dada como f(t)=(240)-2^{t}, onde t é o número de anos decorridos.
  • A pergunta do enunciado: em quantos anos Belém terá 960 praças? (ou seja, achar t tal que f(t)=960).
Observação sobre os dados fornecidos (apenas listando fatos): avaliando a função escrita, temos
f(0)=240-2^{0}=240-1=239,
o que entra em contradição com a afirmação de que atualmente há 240 praças (esperaria f(0)=240). Além disso, para t\ge0 a função 240-2^{t} é decrescente e sempre menor que 240, então jamais alcançaria 960. Por isso há uma leitura alternativa plausível e compatível com o contexto (a prefeitura pretende aumentar o número de praças): a função provavelmente foi escrita com multiplicação, isto é,
f(t)=240\cdot 2^{t}.

Passo 2

Explicando por que optar pela interpretação \,f(t)=240\cdot 2^{t}\,:
  • O enunciado fala em aumentar o número de praças conforme cresce a população — isso sugere crescimento, não diminuição.
  • Com \,f(t)=240\cdot 2^{t}\, tem-se f(0)=240, conforme a informação inicial.
  • A outra forma escrita ( 240-2^{t}) implicaria queda e impossibilidade de chegar a 960.
Vou, portanto, resolver o problema usando a função
f(t)=240\cdot 2^{t},
porque é a interpretação razoável e consistente com o contexto.

Passo 3

Conceito útil: equações exponenciais. Para resolver uma equação do tipo
a^{x}=b,
com a>0, a\neq1 e b>0, podemos usar logaritmos: x=\log_{a}b. Outra forma prática é reescrever b como potência de a (quando possível) e igualar os expoentes.
No nosso caso a incógnita aparece no expoente: queremos achar t em
240\cdot 2^{t}=960.
Vamos usar álgebra simples (dividir ambos lados por 240) e, quando possível, reconhecer potências de 2.

Passo 4

Resolver passo a passo:
240\cdot 2^{t}=960.
Dividindo ambos os lados por 240:
2^{t}=\dfrac{960}{240}.
Calcule a fração:
\dfrac{960}{240}=4,
logo
2^{t}=4.
Reconhecendo 4 como potência de 2:
4=2^{2},
portanto, igualando expoentes,
t=2.
Fazendo a checagem:
f(2)=240\cdot 2^{2}=240\cdot 4=960,
confere.

Resposta

2 anos

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