Uma imobiliária acredita que o valor
de um imóvel no litoral varia segundo a lei
, em que t é o número de anos contados a partir de hoje. (Dado:
)
a) Qual é o valor atual desse imóvel?
b) Qual é desvalorização percentual anual desse imóvel?
c) Quanto valerá esse imóvel daqui a 2 anos?
d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$35 429,40? (Dado:
)
a) Qual é o valor atual desse imóvel?
b) Qual é desvalorização percentual anual desse imóvel?
c) Quanto valerá esse imóvel daqui a 2 anos?
d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$35 429,40? (Dado:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (observei que o enunciado escreveu um sinal de menos, mas os valores fornecidos e o objetivo da letra (d) só fazem sentido se a lei for multiplicativa; por isso vou interpretar a lei como
; usei também o dado
).
Informações dadas:
- A função valor do imóvel é
, onde é o número de anos a partir de hoje. - Dado útil:
.
O que é pedido:
(a) Qual é o valor atual do imóvel? (ou seja, ).
(b) Qual é a desvalorização percentual anual do imóvel?
(c) Quanto valerá o imóvel daqui a 2 anos? (ou seja, ).
(d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá ? (ou seja, encontrar
tal que
).
(a) Qual é o valor atual do imóvel? (ou seja,
(b) Qual é a desvalorização percentual anual do imóvel?
(c) Quanto valerá o imóvel daqui a 2 anos? (ou seja,
(d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá
Passo 2
Entender a forma da função e avaliar
.
Explicação didática do que significa a função
:
- O termo
é o valor inicial (quando ). Em modelos exponenciais do tipo , é o valor inicial e é a razão multiplicativa por unidade de tempo. - O número
é a razão de multiplicação anual: a cada ano o valor é multiplicado por . Se , isso significa queda, porque .
Regra importante de potências: para qualquer
,
. Portanto:
Passo 3
Resposta da letra (a) com interpretação e incentivo.
O valor atual do imóvel é
.
(Ótimo começo — já garantimos o valor-base!)
Passo 4
Determinar a desvalorização percentual anual (letra b).
Explicação didática sobre como extrair a taxa percentual de um fator multiplicativo:
- Se um valor é multiplicado por
a cada ano, a variação relativa anual é . - A variação percentual anual é
.
Aqui. Então a variação relativa é .
Convertendo para porcentagem:
O sinal negativo indica queda (desvalorização).
Passo 5
Resposta da letra (b) e comentário prático.
A desvalorização percentual anual é de
(ou seja, o imóvel perde
do seu valor a cada ano).
Passo 6
Calcular
(letra c) passo a passo.
Primeiro calcule
:
Agora multiplico pelo valor inicial:
Para multiplicar sem calculadora:
, então
Calcule
:
Logo
.
Passo 7
Resposta da letra (c).
Daqui a 2 anos o imóvel valerá
.
Passo 8
Determinar
tal que
(letra d) — explicação passo a passo e alternativa usando o dado fornecido.
Começo equacionando:
Divido ambos os lados por
:
Faço a divisão (tudo em notação decimal):
Observe que o enunciado forneceu exatamente
. Portanto
Como a função exponencial
com
e
é injetora, podemos igualar os expoentes:
Explicação alternativa com logaritmos (útil se o número não fosse exatamente uma potência conhecida):
Nesse caso a fração dentro do ln é
, e
.
Passo 9
Resposta da letra (d).
Daqui a
anos o imóvel valerá
.
Resposta
(a)
(b) Desvalorização anual:
(c)
(d)
(b) Desvalorização anual:
(c)
(d)