Uma imobiliária acredita que o valor \mathbf{v} de um imóvel no litoral varia segundo a lei \mathbf{v}(\mathbf{t})=\mathbf{60} 000-(0,9)^{\mathbf{t}}, em que t é o número de anos contados a partir de hoje. (Dado: 0,9^{5}=0,59049 )
a) Qual é o valor atual desse imóvel?
b) Qual é desvalorização percentual anual desse imóvel?
c) Quanto valerá esse imóvel daqui a 2 anos?
d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$35 429,40? (Dado: 0,9^{5}=0,59049 )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (observei que o enunciado escreveu um sinal de menos, mas os valores fornecidos e o objetivo da letra (d) só fazem sentido se a lei for multiplicativa; por isso vou interpretar a lei como v(t)=60\,000\cdot(0,9)^{t}; usei também o dado 0,9^{5}=0,59049).
Informações dadas:
  • A função valor do imóvel é v(t)=60\,000\cdot(0,9)^{t}, onde t é o número de anos a partir de hoje.
  • Dado útil: 0,9^{5}=0,59049.
O que é pedido:
(a) Qual é o valor atual do imóvel? (ou seja, v(0)).
(b) Qual é a desvalorização percentual anual do imóvel?
(c) Quanto valerá o imóvel daqui a 2 anos? (ou seja, v(2)).
(d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá \text{R\$ }35\,429{,}40? (ou seja, encontrar t tal que v(t)=35\,429{,}40).

Passo 2

Entender a forma da função e avaliar v(0).
Explicação didática do que significa a função v(t)=60\,000\cdot(0,9)^{t}:
  • O termo 60\,000 é o valor inicial (quando t=0). Em modelos exponenciais do tipo v(t)=v_0\cdot a^{t}, v_0 é o valor inicial e a é a razão multiplicativa por unidade de tempo.
  • O número 0,9 é a razão de multiplicação anual: a cada ano o valor é multiplicado por 0,9. Se a=0,9, isso significa queda, porque 0,9<1.
Regra importante de potências: para qualquer a\neq 0, a^{0}=1. Portanto:
v(0)=60\,000\cdot(0,9)^{0}=60\,000\cdot 1=60\,000.

Passo 3

Resposta da letra (a) com interpretação e incentivo.
O valor atual do imóvel é v(0)=\text{R\$ }60\,000.
(Ótimo começo — já garantimos o valor-base!)

Passo 4

Determinar a desvalorização percentual anual (letra b).
Explicação didática sobre como extrair a taxa percentual de um fator multiplicativo:
  • Se um valor é multiplicado por a a cada ano, a variação relativa anual é a-1.
  • A variação percentual anual é (a-1)\times 100\%.
    Aqui a=0,9. Então a variação relativa é 0,9-1=-0,1.
    Convertendo para porcentagem:
\text{variação anual} = -0,1\times 100\% = -10\%.çã
O sinal negativo indica queda (desvalorização).

Passo 5

Resposta da letra (b) e comentário prático.
A desvalorização percentual anual é de 10\% (ou seja, o imóvel perde 10\% do seu valor a cada ano).

Passo 6

Calcular v(2) (letra c) passo a passo.
Primeiro calcule (0,9)^{2}:
(0,9)^{2}=0,9\cdot 0,9=0,81.
Agora multiplico pelo valor inicial:
v(2)=60\,000\cdot 0,81.
Para multiplicar sem calculadora: 0,81=\dfrac{81}{100}, então
60\,000\cdot 0,81 = 60\,000\cdot \dfrac{81}{100} = 600\cdot 81.
Calcule 600\cdot 81:
600\cdot 80 = 48\,000,\qquad 600\cdot 1 = 600,\qquad\text{soma }48\,000+600=48\,600.
Logo v(2)=48\,600.

Passo 7

Resposta da letra (c).
Daqui a 2 anos o imóvel valerá \text{R\$ }48\,600.

Passo 8

Determinar t tal que v(t)=35\,429{,}40 (letra d) — explicação passo a passo e alternativa usando o dado fornecido.
Começo equacionando:
60\,000\cdot(0,9)^{t}=35\,429{,}40.
Divido ambos os lados por 60\,000:
(0,9)^{t}=\dfrac{35\,429{,}40}{60\,000}.
Faço a divisão (tudo em notação decimal):
\dfrac{35\,429{,}40}{60\,000}=0,59049.
Observe que o enunciado forneceu exatamente 0,9^{5}=0,59049. Portanto
(0,9)^{t}=0,9^{5}.
Como a função exponencial a^{x} com a>0 e a\neq 1 é injetora, podemos igualar os expoentes:
t=5.
Explicação alternativa com logaritmos (útil se o número não fosse exatamente uma potência conhecida):
t=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{35\,429{,}40}{60\,000}\right)}{\ln(0,9)}.
Nesse caso a fração dentro do ln é 0,59049, e \ln(0,59049)/\ln(0,9)=5.

Passo 9

Resposta da letra (d).
Daqui a 5 anos o imóvel valerá \text{R\$ }35\,429{,}40.

Resposta

(a) v(0)=\text{R\$ }60\,000
(b) Desvalorização anual: 10\%
(c) v(2)=\text{R\$ }48\,600
(d) t=5\\ \text{anos}

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