(Uepg-pss 2 2024) Considerando que
e
são duas funções reais, apresente a soma das alternativas corretas.
-
nos pontos
e
.
- O vértice da parábola
é o ponto de ordenada -4 .
- A equação
tem duas raízes reais e iguais.
Passo 1
O enunciado dá duas funções reais:
E pede que a gente verifique quais das alternativas são verdadeiras e depois apresente a soma das alternativas corretas. As alternativas são:
Meu objetivo é verificar cada alternativa, mostrando todos os cálculos passo a passo, e ao final somar os números das alternativas que forem verdadeiras.
Passo 2
Verificando a alternativa 01: precisamos checar se, nos pontos
e
, as duas funções têm o mesmo valor (ou seja, se para
e para
vale
).
Primeiro para
:
Como
e
, os dois gráficos passam pelo ponto
. Logo a igualdade é verdadeira nesse ponto.
Agora para
:
Como
e
, os dois gráficos passam pelo ponto
. Logo a igualdade é verdadeira nesse ponto também.
Conclusão do Passo 2: a alternativa 01 é verdadeira.
Passo 3
Verificando a alternativa 02: precisamos achar a ordenada (valor em
) do vértice da parábola
e ver se é
.
Método e conceito básico: para uma parábola dada por
com
, o vértice tem abscissa
A ordenada do vértice é
. Essa fórmula vem de completar o quadrado na expressão quadrática; aqui eu aplico diretamente e também mostro completando o quadrado rapidamente para você entender de onde vem.
Identificando coeficientes em
:
Calculando a abscissa do vértice:
Agora a ordenada:
Breve justificativa por completar o quadrado (intuição): escrevendo
fica explícito que a parábola está deslocada e o vértice é
. A forma
mostra que a ordenada do vértice é
.
Conclusão do Passo 3: a alternativa 02 é verdadeira.
Passo 4
Verificando a alternativa 04: a equação dada é
Primeiro calculo o lado direito:
Calcule
:
Calcule
:
Logo
Substituindo na equação original obtemos:
Passo simples: subtrair
dos dois lados para obter uma equação quadrática na forma padrão:
Agora observe que
Isto mostra explicitamente que a equação é
, ou seja, tem uma raiz real com multiplicidade 2:
. Em termos de discriminante (conceito útil em provas): para uma quadrática
o discriminante é
. Se
há raízes reais iguais. Aqui, para
temos
confirmando que há duas raízes reais iguais (uma raiz dupla).
Conclusão do Passo 4: a alternativa 04 é verdadeira.
Passo 5
Resumo das verificações:
Como todas as alternativas indicadas estão corretas, somamos os números das alternativas verdadeiras:
.
Resposta
7