(Uepg-pss 2 2024) Considerando que f(x)=x+7 e g(x)=x^{2}-2 x-3 são duas funções reais, apresente a soma das alternativas corretas.
  1. f(x)=g(x) nos pontos (-2,5) e (5,12).
  2. O vértice da parábola \mathrm{g}(\mathrm{x}) é o ponto de ordenada -4 .
  3. A equação x^{2}-4 x+8=f(0)+g(2) tem duas raízes reais e iguais.

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais:
f(x)=x+7
g(x)=x^{2}-2x-3
E pede que a gente verifique quais das alternativas são verdadeiras e depois apresente a soma das alternativas corretas. As alternativas são:
\text{01) } f(x)=g(x)\text{ nos pontos }(-2,5)\text{ e }(5,12).
\text{02) } \text{O vértice da parábola }g(x)\text{ tem ordenada }-4.éá
\text{04) } \text{A equação }x^{2}-4x+8=f(0)+g(2)\text{ tem duas raízes reais e iguais.}çãí
Meu objetivo é verificar cada alternativa, mostrando todos os cálculos passo a passo, e ao final somar os números das alternativas que forem verdadeiras.

Passo 2

Verificando a alternativa 01: precisamos checar se, nos pontos (-2,5) e (5,12), as duas funções têm o mesmo valor (ou seja, se para x=-2 e para x=5 vale f(x)=g(x)).
Primeiro para x=-2:
f(-2)=(-2)+7=5.
g(-2)=(-2)^{2}-2(-2)-3=4+4-3=5.
Como f(-2)=5 e g(-2)=5, os dois gráficos passam pelo ponto (-2,5). Logo a igualdade é verdadeira nesse ponto.
Agora para x=5:
f(5)=5+7=12.
g(5)=5^{2}-2\cdot5-3=25-10-3=12.
Como f(5)=12 e g(5)=12, os dois gráficos passam pelo ponto (5,12). Logo a igualdade é verdadeira nesse ponto também.
Conclusão do Passo 2: a alternativa 01 é verdadeira.

Passo 3

Verificando a alternativa 02: precisamos achar a ordenada (valor em y) do vértice da parábola g(x)=x^{2}-2x-3 e ver se é -4.
Método e conceito básico: para uma parábola dada por \;g(x)=ax^{2}+bx+c\; com a\neq0, o vértice tem abscissa
x_{v}=-\dfrac{b}{2a}.
A ordenada do vértice é g(x_{v}). Essa fórmula vem de completar o quadrado na expressão quadrática; aqui eu aplico diretamente e também mostro completando o quadrado rapidamente para você entender de onde vem.
Identificando coeficientes em g(x)=x^{2}-2x-3:
a=1,\qquad b=-2,\qquad c=-3.
Calculando a abscissa do vértice:
x_{v}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot1}=\dfrac{2}{2}=1.
Agora a ordenada:
g(1)=1^{2}-2\cdot1-3=1-2-3=-4.
Breve justificativa por completar o quadrado (intuição): escrevendo
g(x)=x^{2}-2x-3=(x^{2}-2x+1)-1-3=(x-1)^{2}-4,
fica explícito que a parábola está deslocada e o vértice é (1,-4). A forma (x-1)^{2}-4 mostra que a ordenada do vértice é -4.
Conclusão do Passo 3: a alternativa 02 é verdadeira.

Passo 4

Verificando a alternativa 04: a equação dada é
x^{2}-4x+8=f(0)+g(2).
Primeiro calculo o lado direito:
Calcule f(0):
f(0)=0+7=7.
Calcule g(2):
g(2)=2^{2}-2\cdot2-3=4-4-3=-3.
Logo
f(0)+g(2)=7+(-3)=4.
Substituindo na equação original obtemos:
x^{2}-4x+8=4.
Passo simples: subtrair 4 dos dois lados para obter uma equação quadrática na forma padrão:
x^{2}-4x+8-4=0
x^{2}-4x+4=0.
Agora observe que
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Isto mostra explicitamente que a equação é (x-2)^{2}=0, ou seja, tem uma raiz real com multiplicidade 2: x=2. Em termos de discriminante (conceito útil em provas): para uma quadrática ax^{2}+bx+c=0 o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. Se \Delta=0 há raízes reais iguais. Aqui, para x^{2}-4x+4 temos
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot4=16-16=0,
confirmando que há duas raízes reais iguais (uma raiz dupla).
Conclusão do Passo 4: a alternativa 04 é verdadeira.

Passo 5

Resumo das verificações:
\text{01) verdadeira}
\text{02) verdadeira}
\text{04) verdadeira}
Como todas as alternativas indicadas estão corretas, somamos os números das alternativas verdadeiras: 1+2+4.

Resposta

7

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