Calcule as integrais indefinidas a seguir.
\int \operatorname{sen}^{2}(x) \cdot \operatorname{sen}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{2}(x)\cdot \operatorname{sen}(2x)\,dx.
Informações dadas que vamos usar: a função integranda é o produto de potências de seno por um seno de ângulo duplo; não há limites (é uma integral indefinida), então o resultado será uma primitiva mais uma constante de integração.

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica simplifica muito. A identidade para o seno do ângulo duplo é
\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}(x)\operatorname{cos}(x).
Explicando essa identidade: ela vem da fórmula \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b aplicada a a=b=x. Substituindo na integral, temos
\int \operatorname{sen}^{2}(x)\cdot \operatorname{sen}(2x)\,dx = \int \operatorname{sen}^{2}(x)\cdot \bigl(2\operatorname{sen}(x)\operatorname{cos}(x)\bigr)\,dx.

Passo 3

Simplificando o produto obtemos uma potência de seno multiplicada por cosseno:
\int 2\,\operatorname{sen}^{3}(x)\operatorname{cos}(x)\,dx.
Aqui é um padrão clássico: quando aparece \operatorname{cos}(x)\,dx junto com uma função de \operatorname{sen}(x), vale a pena usar substituição u=\operatorname{sen}(x). Vou explicar a substituição com calma.

Passo 4

Escolhemos a substituição
u=\operatorname{sen}(x).
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=\operatorname{cos}(x)\quad\Rightarrow\quad du=\operatorname{cos}(x)\,dx.
Substituindo na integral original (já simplificada) vemos que \operatorname{sen}^{3}(x) vira u^{3} e \operatorname{cos}(x)\,dx vira du. Portanto a integral passa a ser uma integral em u:
\int 2\,\operatorname{sen}^{3}(x)\operatorname{cos}(x)\,dx = 2\int u^{3}\,du.
Explicando o porquê da técnica: a substituição transforma a integral de uma função trigonométrica em uma integral polinomial em u, que é muito mais simples de calcular.

Passo 5

Agora integramos o polinômio em u. A regra básica é \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aplicando com n=3 e o fator 2 à frente:
2\int u^{3}\,du = 2\cdot\frac{u^{4}}{4} + C = \frac{u^{4}}{2} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui obtivemos uma primitiva em termos de u. Não faremos ainda a substituição de volta para x nesta etapa (a resposta final com a variável original virá no campo de resposta).

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): se a primitiva em u é \dfrac{u^{4}}{2}, derivando em relação a x usando cadeia temos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u^{4}}{2}\right)=\frac{4u^{3}}{2}\cdot\frac{du}{dx}=2u^{3}\cdot\operatorname{cos}(x).
Substituindo u=\operatorname{sen}(x) isso vira 2\operatorname{sen}^{3}(x)\operatorname{cos}(x), que é exatamente o integrando que tínhamos após usar a identidade trigonométrica. Portanto está consistente.

Resposta

\frac{\operatorname{sen}^{4}(x)}{2}+C

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