Calcule as integrais indefinidas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações dadas que vamos usar: a função integranda é o produto de potências de seno por um seno de ângulo duplo; não há limites (é uma integral indefinida), então o resultado será uma primitiva mais uma constante de integração.
Passo 2
Usar uma identidade trigonométrica simplifica muito. A identidade para o seno do ângulo duplo é
Explicando essa identidade: ela vem da fórmula
aplicada a
. Substituindo na integral, temos
Passo 3
Simplificando o produto obtemos uma potência de seno multiplicada por cosseno:
Aqui é um padrão clássico: quando aparece
junto com uma função de
, vale a pena usar substituição
. Vou explicar a substituição com calma.
Passo 4
Escolhemos a substituição
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Substituindo na integral original (já simplificada) vemos que
vira
e
vira
. Portanto a integral passa a ser uma integral em
:
Explicando o porquê da técnica: a substituição transforma a integral de uma função trigonométrica em uma integral polinomial em
, que é muito mais simples de calcular.
Passo 5
Agora integramos o polinômio em
. A regra básica é
para
. Aplicando com
e o fator
à frente:
onde
é a constante de integração. Aqui obtivemos uma primitiva em termos de
. Não faremos ainda a substituição de volta para
nesta etapa (a resposta final com a variável original virá no campo de resposta).
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): se a primitiva em
é
, derivando em relação a
usando cadeia temos
Substituindo
isso vira
, que é exatamente o integrando que tínhamos após usar a identidade trigonométrica. Portanto está consistente.