Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{2 \pi} x^{2} \cdot \operatorname{sen}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I=\int_{0}^{2\pi} x^{2}\cdot \operatorname{sen}(2x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é o produto de um polinômio x^{2} e uma função trigonométrica \operatorname{sen}(2x).
  • Os limites de integração são 0 e 2\pi.
  • Não há outras condições ou parâmetros.
    Nada mais será assumido; vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 2

Idea do método (explicação didática): para integrais do tipo polinômio vezes trigonométrica, a técnica mais direta é a fórmula de integração por partes. A fórmula de integração por partes para integrais indefinidas é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos dentro do integrando. Em uma integral definida \int_{a}^{b} u\,dv a fórmula vira
\int_{a}^{b} u\,dv = \left[uv\right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\,du.
Aqui a regra prática é escolher u como a parte que se simplifica ao derivar (normalmente o polinômio) e dv como a parte que sabemos integrar facilmente (a função trigonométrica). Então escolhemos:
u = x^{2},\qquad dv=\operatorname{sen}(2x)\,dx.
Vou aplicar a fórmula agora.

Passo 3

Calcular du e v. Derivando u e integrando dv:
du = \frac{d}{dx}(x^{2})\,dx = 2x\,dx.
Para v precisamos integrar \operatorname{sen}(2x). Sabemos que
\int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C,
pois a derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x), então o fator -\tfrac{1}{2} corrige isso. Logo
v = -\frac{1}{2}\cos(2x).

Passo 4

Aplicar integração por partes na integral definida. Usando \left[uv\right]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} v\,du, obtemos:
I = \left[-\frac{1}{2}x^{2}\cos(2x)\right]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi}\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)\cdot(2x)\,dx.
Simplificando o integrando da segunda parcela:
-\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 2x\cos(2x) = +x\cos(2x).
Portanto
I = \left[-\frac{1}{2}x^{2}\cos(2x)\right]_{0}^{2\pi} + \int_{0}^{2\pi} x\cos(2x)\,dx.

Passo 5

Avaliar o termo de contorno \left[-\tfrac{1}{2}x^{2}\cos(2x)\right]_{0}^{2\pi}:
\left[-\frac{1}{2}x^{2}\cos(2x)\right]_{0}^{2\pi} = -\frac{1}{2}(2\pi)^{2}\cos(4\pi) - \left(-\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\cos 0\right).
Como \cos(4\pi)=1 e o segundo termo é zero, temos
\left[-\frac{1}{2}x^{2}\cos(2x)\right]_{0}^{2\pi} = -\frac{1}{2}\cdot 4\pi^{2}\cdot 1 = -2\pi^{2}.
Logo, até agora
I = -2\pi^{2} + \int_{0}^{2\pi} x\cos(2x)\,dx.
Denotemos a integral restante por
J=\int_{0}^{2\pi} x\cos(2x)\,dx,
e vamos calculá-la.

Passo 6

Calcular J usando integração por partes novamente. Escolhemos da mesma forma:
u = x,\qquad dv=\cos(2x)\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x),
pois a derivada de \sin(2x) é 2\cos(2x). Aplicando a fórmula em forma definida:
J=\left[\frac{1}{2}x\sin(2x)\right]_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\sin(2x)\,dx.

Passo 7

Avaliar o termo de contorno em J:
\left[\frac{1}{2}x\sin(2x)\right]_{0}^{2\pi}=\frac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot \sin(4\pi)-0 = \pi\cdot 0 = 0,
porque \sin(4\pi)=0. Restou então
J = -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2x)\,dx.
Calculemos a integral \int_{0}^{2\pi}\sin(2x)\,dx. Uma antiderivada é -\tfrac{1}{2}\cos(2x), então
\int_{0}^{2\pi}\sin(2x)\,dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_{0}^{2\pi} = -\frac{1}{2}\cos(4\pi) -\left(-\frac{1}{2}\cos 0\right).
Como \cos(4\pi)=\cos 0=1, isso dá
\int_{0}^{2\pi}\sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cdot 1 -\left(-\frac{1}{2}\cdot 1\right) = 0.
Portanto J = -\tfrac{1}{2}\cdot 0 = 0.

Passo 8

Voltando para I, temos
I = -2\pi^{2} + J = -2\pi^{2} + 0 = -2\pi^{2}.
Interpretação rápida: a parcela complicada reduziu-se a uma integral que se anulou por ser integral de um seno em um período inteiro; o termo que sobreviveu foi o termo de contorno do primeiro passo por partes.

Resposta

-2\pi^{2}

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