Calcule as integrais definidas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
- O integrando é o produto de um polinômio
e uma função trigonométrica . - Os limites de integração são
e . - Não há outras condições ou parâmetros.
Nada mais será assumido; vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 2
Idea do método (explicação didática): para integrais do tipo polinômio vezes trigonométrica, a técnica mais direta é a fórmula de integração por partes. A fórmula de integração por partes para integrais indefinidas é
onde
e
são escolhidos dentro do integrando. Em uma integral definida
a fórmula vira
Aqui a regra prática é escolher
como a parte que se simplifica ao derivar (normalmente o polinômio) e
como a parte que sabemos integrar facilmente (a função trigonométrica). Então escolhemos:
Vou aplicar a fórmula agora.
Passo 3
Calcular
e
. Derivando
e integrando
:
Para
precisamos integrar
. Sabemos que
pois a derivada de
é
, então o fator
corrige isso. Logo
Passo 4
Aplicar integração por partes na integral definida. Usando
, obtemos:
Simplificando o integrando da segunda parcela:
Portanto
Passo 5
Avaliar o termo de contorno
:
Como
e o segundo termo é zero, temos
Logo, até agora
Denotemos a integral restante por
e vamos calculá-la.
Passo 6
Calcular
usando integração por partes novamente. Escolhemos da mesma forma:
Então
pois a derivada de
é
. Aplicando a fórmula em forma definida:
Passo 7
Avaliar o termo de contorno em
:
porque
. Restou então
Calculemos a integral
. Uma antiderivada é
, então
Como
, isso dá
Portanto
.
Passo 8
Voltando para
, temos
Interpretação rápida: a parcela complicada reduziu-se a uma integral que se anulou por ser integral de um seno em um período inteiro; o termo que sobreviveu foi o termo de contorno do primeiro passo por partes.