UERJ
Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hôpital:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3^{4 x}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to \infty} \frac{3^{4x}}{x^{2}}
usando a regra de L’Hôpital. Aqui temos um quociente em que tanto o numerador quanto o denominador tendem a +\infty, ou seja, é uma forma indeterminada \infty/\infty. Para resolver, vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se
\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=\infty
e as derivadas existem, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando esse último limite existir ou for \pm\infty.

Passo 2

Aplicamos a primeira vez a regra de L’Hôpital. Calculamos as derivadas:
\frac{d}{dx}3^{4x} =3^{4x}\ln(3)\cdot4 =4\ln(3)\,3^{4x},
\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Logo,
\lim_{x \to \infty}\frac{3^{4x}}{x^{2}} =\lim_{x \to \infty}\frac{4\ln(3)\,3^{4x}}{2x} =\lim_{x \to \infty}\frac{2\ln(3)\,3^{4x}}{x}.
Ainda temos forma indeterminada \infty/\infty.

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez. Derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(2\ln(3)\,3^{4x}\bigr) =2\ln(3)\cdot4\ln(3)\,3^{4x} =8[\ln(3)]^{2}\,3^{4x},
\frac{d}{dx}x=1.
Portanto,
\lim_{x \to \infty}\frac{2\ln(3)\,3^{4x}}{x} =\lim_{x \to \infty}8[\ln(3)]^{2}\,3^{4x}.
Como 3^{4x}\to\infty quando x\to\infty, o limite é +\infty.

Resposta

O limite é +\infty.

Exercícios relacionados