UERJ
Seja
uma função contínua tal que
, para todo
.
Calcule
.
Seja
Calcule
Passo 1
O enunciado dá que
é contínua e que, para todo
,
A pergunta é: calcular
.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A igualdade vale para todo
. - Se eu substituir
na igualdade, obtenho , isto é . Essa igualdade é verdadeira, mas não determina diretamente o valor de . - A continuidade de
em será fundamental para achar o valor pedido.
Passo 2
Para
posso isolar
dividindo ambos os lados por
. Assim, para
,
Observação: essa expressão não está definida diretamente em
porque o denominador fica zero, por isso precisamos usar a continuidade para encontrar o valor naquele ponto.
Passo 3
Definição usada: uma função
é contínua em
se
. Como
é contínua em todo
, em particular em
, vale
Usando a expressão do Passo 2 para
,
Passo 4
Antes de calcular o limite, verifico a indeterminação substituindo
:
logo temos forma indeterminada
. Para resolver esse tipo de limite posso usar o Teorema de l’Hôpital, que permite calcular
pela razão das derivadas
quando
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(com
não nula identificadamente). Aqui
e
são diferenciáveis em toda reta e
é constante e diferente de zero, então as hipóteses de l’Hôpital estão satisfeitas.
Passo 5
Aplico l’Hôpital:
Agora substituo
:
, portanto
Assim concluímos que
.
Passo 6
(Verificação alternativa, opcional) Posso também fazer a mudança
com
. Então
Para pequenos
,
, então a razão
. Isso confirma o resultado do Passo 5.