UERJ
Seja h: \Re \rightarrow \Re uma função contínua tal que
(2 x-\pi) \cdot h(x)=1-\operatorname{sen}(x), para todo x \in \Re.
Calcule h\left(\frac{\pi}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá que h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua e que, para todo x\in\mathbb{R},
(2x-\pi)\cdot h(x)=1-\operatorname{sen}(x).
A pergunta é: calcular h\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right).
Informações relevantes do enunciado:
  • A igualdade vale para todo x\in\mathbb{R}.
  • Se eu substituir x=\dfrac{\pi}{2} na igualdade, obtenho (2\cdot\dfrac{\pi}{2}-\pi)\,h\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1-\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right), isto é 0\cdot h\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0. Essa igualdade é verdadeira, mas não determina diretamente o valor de h\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right).
  • A continuidade de h em \dfrac{\pi}{2} será fundamental para achar o valor pedido.

Passo 2

Para x\neq \dfrac{\pi}{2} posso isolar h(x) dividindo ambos os lados por 2x-\pi. Assim, para x\neq \dfrac{\pi}{2},
h(x)=\frac{1-\operatorname{sen}(x)}{2x-\pi}.
Observação: essa expressão não está definida diretamente em x=\dfrac{\pi}{2} porque o denominador fica zero, por isso precisamos usar a continuidade para encontrar o valor naquele ponto.

Passo 3

Definição usada: uma função h é contínua em a se \lim_{x\to a} h(x)=h(a). Como h é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em a=\dfrac{\pi}{2}, vale
h\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} h(x).
Usando a expressão do Passo 2 para x\neq \dfrac{\pi}{2},
h\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\operatorname{sen}(x)}{2x-\pi}.

Passo 4

Antes de calcular o limite, verifico a indeterminação substituindo x=\dfrac{\pi}{2}:
1-\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1-1=0\quad\text{e}\quad 2\cdot\frac{\pi}{2}-\pi=0,
logo temos forma indeterminada 0/0. Para resolver esse tipo de limite posso usar o Teorema de l’Hôpital, que permite calcular \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} pela razão das derivadas f'(x)/g'(x) quando f(a)=g(a)=0 e f,g são diferenciáveis numa vizinhança de a (com g' não nula identificadamente). Aqui f(x)=1-\operatorname{sen}(x) e g(x)=2x-\pi são diferenciáveis em toda reta e g'(x)=2 é constante e diferente de zero, então as hipóteses de l’Hôpital estão satisfeitas.

Passo 5

Aplico l’Hôpital:
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\operatorname{sen}(x)}{2x-\pi} =\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\dfrac{d}{dx}\big(1-\operatorname{sen}(x)\big)}{\dfrac{d}{dx}\big(2x-\pi\big)} =\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos(x)}{2}.
Agora substituo x=\dfrac{\pi}{2}: \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0, portanto
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos(x)}{2}=\frac{-0}{2}=0.
Assim concluímos que h\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.

Passo 6

(Verificação alternativa, opcional) Posso também fazer a mudança x=\dfrac{\pi}{2}+u com u\to 0. Então
\frac{1-\operatorname{sen}(x)}{2x-\pi}=\frac{1-\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+u\right)}{2u}=\frac{1-\cos(u)}{2u}.
Para pequenos u, 1-\cos(u)\approx \dfrac{u^{2}}{2}, então a razão \dfrac{1-\cos(u)}{2u}\approx \dfrac{u^{2}/2}{2u}=\dfrac{u}{4}\to 0. Isso confirma o resultado do Passo 5.

Resposta

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