UERJ
Determine o valor de
para que a função
seja contínua em
.
Determine o valor de
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de
tal que a função
seja contínua em
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Para
, . - Para
, (constante). - A função deve ser contínua em
, ou seja, o valor de em e os limites laterais em devem coincidir.
Pergunta explícita:
- Qual é o valor de
que torna contínua em ?
Passo 2
O que significa continuidade em
pra essa função?
A definição prática: é contínua em
se e somente se
A definição prática:
Aqui, para
a função vale
, então:
-
. - O limite pela esquerda é
(porque para tem valor constante ).
Portanto, a condição de continuidade se reduz a exigir que o limite pela direita seja igual a:
Nosso trabalho agora é calcular esse limite à direita.
Passo 3
Observação sobre a forma do limite: quando
, temos
, então
. A expressão é da forma
, uma indeterminação clássica. O truque padrão é tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto, avaliar o limite do logaritmo e depois “desfazer” o logaritmo exponenciando.
Defina, para
,
Vamos estudar
porque
desde que o limite de
exista (pode ser finito ou
).
Passo 4
Calcule o logaritmo:
Queremos
. Reescrevemos de forma que possamos usar limites simples conhecidos:
Agora factoramos para aproveitar duas regras de limite padrões:
Verifique: multiplicando os três fatores o denominador final é
e o numerador é
, correto.
Agora use limites conhecidos quando
:
-
. Explicação rápida: para pequeno, ; formalmente pode-se usar série de Taylor ou L’Hôpital. -
(fato padrão sobre seno).
Aplicando essas propriedades com
que tende a
quando
, obtemos:
Portanto,
Passo 5
Voltando ao
:
Logo o limite da função
pela direita é
Passo 6
Conclusão de continuidade: como
e
, para que
seja contínua em
devemos ter