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Determine o valor de k para que a função
f(x)=\left\{ \begin{array}{l} {[1+\operatorname{sen}(2 x)]^{\frac{3}{x}} ; x>0} \\ k ; x \leq 0 \end{array} \right.
seja contínua em x=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de k tal que a função
f(x)=\left\{ \begin{array}{l} {[1+\operatorname{sen}(2 x)]^{\frac{3}{x}} ; x>0} \\\ {k ; x \leq 0} \end{array} \right.
seja contínua em x=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Para x>0, f(x) = [1+\operatorname{sen}(2x)]^{\frac{3}{x}}.
  • Para x\leq 0, f(x)=k (constante).
  • A função deve ser contínua em x=0, ou seja, o valor de f em 0 e os limites laterais em 0 devem coincidir.
Pergunta explícita:
  • Qual é o valor de k que torna f contínua em x=0?

Passo 2

O que significa continuidade em x=0 pra essa função?
A definição prática: f é contínua em 0 se e somente se
\lim_{x\to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x\to 0^+} f(x).
Aqui, para x\leq 0 a função vale k, então:
  • f(0)=k.
  • O limite pela esquerda é \lim_{x\to 0^-} f(x)=k (porque para x<0 tem valor constante k).
    Portanto, a condição de continuidade se reduz a exigir que o limite pela direita seja igual a k:
\lim_{x\to 0^+} [1+\operatorname{sen}(2x)]^{\frac{3}{x}} = k.
Nosso trabalho agora é calcular esse limite à direita.

Passo 3

Observação sobre a forma do limite: quando x\to 0^+, temos \operatorname{sen}(2x)\to 0, então 1+\operatorname{sen}(2x)\to 1. A expressão é da forma (1)^{\infty}, uma indeterminação clássica. O truque padrão é tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto, avaliar o limite do logaritmo e depois “desfazer” o logaritmo exponenciando.
Defina, para x>0,
g(x)= [1+\operatorname{sen}(2x)]^{\frac{3}{x}}.
Vamos estudar \ln g(x) porque
\lim_{x\to 0^+} g(x) = \exp\!\big(\lim_{x\to 0^+} \ln g(x)\big),
desde que o limite de \ln g(x) exista (pode ser finito ou \pm\infty).

Passo 4

Calcule o logaritmo:
\ln g(x) = \frac{3}{x}\,\ln\big(1+\operatorname{sen}(2x)\big).
Queremos \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \ln g(x). Reescrevemos de forma que possamos usar limites simples conhecidos:
\ln g(x) = 3\cdot \frac{\ln\big(1+\operatorname{sen}(2x)\big)}{x}.
Agora factoramos para aproveitar duas regras de limite padrões:
\frac{\ln\big(1+\operatorname{sen}(2x)\big)}{x} = \frac{\ln\big(1+\operatorname{sen}(2x)\big)}{\operatorname{sen}(2x)} \cdot \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x} \cdot 2.
Verifique: multiplicando os três fatores o denominador final é x e o numerador é \ln(1+\operatorname{sen}(2x)), correto.
Agora use limites conhecidos quando x\to 0:
  • \displaystyle \lim_{u\to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1. Explicação rápida: para u pequeno, \ln(1+u)\approx u; formalmente pode-se usar série de Taylor ou L’Hôpital.
  • \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x} = 1 (fato padrão sobre seno).
Aplicando essas propriedades com u=\operatorname{sen}(2x) que tende a 0 quando x\to 0, obtemos:
\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln\big(1+\operatorname{sen}(2x)\big)}{\operatorname{sen}(2x)} = 1, \quad \lim_{x\to 0^+} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x} = 1.
Portanto,
\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln\big(1+\operatorname{sen}(2x)\big)}{x} = 1\cdot 1 \cdot 2 = 2.

Passo 5

Voltando ao \ln g(x):
\lim_{x\to 0^+} \ln g(x) = 3 \cdot \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln\big(1+\operatorname{sen}(2x)\big)}{x} = 3\cdot 2 = 6.
Logo o limite da função g pela direita é
\lim_{x\to 0^+} g(x) = \exp\big(\lim_{x\to 0^+} \ln g(x)\big) = \exp(6) = e^{6}.

Passo 6

Conclusão de continuidade: como \lim_{x\to 0^-} f(x)=k e \lim_{x\to 0^+} f(x)=e^{6}, para que f seja contínua em 0 devemos ter
k = e^{6}.

Resposta

k=e^{6}

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