8 (UF-RS) O quadrado do número \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}} é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Passo 1

O enunciado pede o quadrado da expressão \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}} que envolve manipulação de radicais. Nosso objetivo é calcular
\Bigl(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\Bigr)^{2}
usando a expansão de um binômio.

Passo 2

Aplicamos a fórmula
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
com a=\sqrt{2+\sqrt{3}} e b=\sqrt{2-\sqrt{3}}, obtendo
\Bigl(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\Bigr)^{2} =(\sqrt{2+\sqrt{3}})^{2}+2\,\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^{2}.

Passo 3

Calculamos os quadrados dos radicais:
(\sqrt{2+\sqrt{3}})^{2}=2+\sqrt{3}, \quad (\sqrt{2-\sqrt{3}})^{2}=2-\sqrt{3},
logo a soma desses dois termos é
(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4.

Passo 4

Agora o termo misto:
\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} =\sqrt{4-(\sqrt{3})^{2}} =\sqrt{4-3} =\sqrt{1} =1.
Multiplicando por 2, o termo misto vale 2.

Passo 5

Somando tudo,
\Bigl(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\Bigr)^{2} =4+2=6.

Resposta

c) 6

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