É dada uma sequência infinita de quadriláteros, cada um, a partir do segundo, tendo por vértices os pontos médios dos lados do anterior. Obtenha a soma das áreas dos quadriláteros em função da área A do primeiro.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência infinita de quadriláteros Q_1,Q_2,Q_3,\dots tal que:
Q_1 é o quadrilátero inicial e sua área é A.
Para todo n\ge 2, o quadrilátero Q_n tem por vértices os pontos médios dos lados de Q_{n-1}.
A pergunta é: obter a soma das áreas de todos os quadriláteros da sequência, ou seja calcular
\sum_{n=1}^{\infty} \text{área}(Q_n)
em função de A.
Passo 2
Idea central: mostrar que a área do quadrilátero formado pelos pontos médios de um quadrilátero qualquer vale exatamente metade da área do quadrilátero original. Esse fato permitirá ver que as áreas formam uma progressão geométrica. Vou provar a afirmação do “metade” de forma clara usando coordenadas (um método direto e elementar).
Sejam os vértices do quadrilátero original Q (numa ordem circular) os pontos
Agrupando os termos e fatorando 1/4 dos produtos, cada termo do tipo x_i y_{i+1} aparece exatamente duas vezes com o mesmo sinal no numerador (ou no subtraendo) e, depois de cancelar e recolher os sinais, obtém‑se
\text{area}(M_1M_2M_3M_4)=\frac{1}{2}\,\text{area}(A B C D).
Isso mostra que, ao passar de um quadrilátero para o quadrilátero dos pontos médios, a área é multiplicada por \tfrac{1}{2}.
(Comentário rápido e intuitivo: este resultado é conhecido como teorema de Varignon; a demonstração acima usa coordenadas e a fórmula do polígono, mas existem outras provas geométricas equivalentes.)
Passo 3
Aplicando o resultado do Passo 2 à sequência dada: se \text{área}(Q_1)=Aá, então
Portanto as áreas formam uma progressão geométrica com primeiro termo A e razão r=\tfrac{1}{2}.
Passo 4
Agora somamos a série infinita das áreas. Para uma progressão geométrica com primeiro termo a e razão r tal que |r|<1, vale a fórmula
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}=\frac{a}{1-r}.
No nosso caso queremos \sum_{n=1}^{\infty} \text{área}(Q_n)á. Identificando a=A e r=\tfrac{1}{2} (observando que \text{área}(Q_n)=A(\tfrac{1}{2})^{n-1}á), temos
Resumo final e interpretação: cada passo corta a área pela metade (pela propriedade dos pontos médios), então as áreas são A,\tfrac{1}{2}A,\tfrac{1}{4}A,\dots. Somando a série geométrica infinita obtemos o dobro da área inicial.