UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Determine e justifique quais propriedades (memória, invariância no tempo, linearidade, causalidade e estabilidade) são válidas para sistema

Passo 1

Beleza, vou resumir rapidinho o enunciado e o que a gente precisa.
Enunciado: o sistema é dado por
y(t)= 0, & t<0, x(t)+x(t-2), & t>=0
Conteúdo: Análise de Sinais e Sistemas – propriedades de sistemas (memória, invariância no tempo, linearidade, causalidade e estabilidade).
O que vamos precisar: as definições de cada propriedade e aplicar direto nesse y(t).

Passo 2

Definição: um sistema é sem memória (ou memoryless) se, pra cada instante t, a saída y(t) depende de x(t).
No nosso caso, pra t>=0 aparece x(t-2), que é um valor da entrada do passado. Logo, o sistema tem memória.

Passo 3

Definição: um sistema é invariante no tempo se, ao atrasar a entrada em t0, a saída atrasa exatamente em t0.
  1. Se x'(t)=x(t-t0), a saída seria y'(t)= 0, & t<0, x'(t)+x'(t-2)=x(t-t0)+x(t-t0-2), & t>=0
  2. Por outro lado, atrasar a saída original dá y(t-t0)= 0, & t-t0<0 (ie t= t0
Repara que os “cortes” (onde é zero ou não) são diferentes: em y'(t) o limite é t=0, em y(t-t0) é t=t0. Não bate, então não é invariante no tempo.

Passo 4

Definição: um sistema é linear se vale superposição e homogeneidade, ou seja,
y[x1 + x2]=y[x1] + y[x2] e y[a,x]=a,y[x]
Sejam x1,x2 duas entradas e a uma constante:
  • Para t<0, todas as saídas são zero, então a soma funciona.
  • Para t>=0, y[x1+x2](t) = (x1+x2)(t)+(x1+x2)(t-2) = x1(t)+x1(t-2)+x2(t)+x2(t-2) = y[x1](t)+y[x2](t)
E o fator a sai direto: y[a,x](t)=a,x(t)+a,x(t-2)=a,y[x](t).
Então é linear.

Passo 5

Definição: é causal se, pra calcular y(t), a gente usa só valores de x(tau) com tau<= t.
Aqui, pra t>=0 usamos x(t) e x(t-2). Note que t-2<= t sempre. Pra t<0 a saída é zero (não precisa de informação futura).
Logo, é causal.

Passo 6

Definição BIBO: se |x(t)|<= B em toda parte, deve existir M tal que |y(t)|<= M.
  • Para t<0, y(t)=0 dá zero.
  • Para t>=0, |y(t)| = |x(t)+x(t-2)| <= |x(t)|+|x(t-2)| <= B + B = 2B
Basta tomar M=2B e está garantido. Então é estável.

Resposta

Memória: sim
Invariância no tempo: não
Linearidade: sim
Causalidade: sim
Estabilidade: sim

Exercícios relacionados