UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Considere o sistema discreto com entrada x[n] e saída y[n] relacionadas por
y[n]=sumk=n-n0^n+n0 x[k],
em que n0 é um número inteiro.
Este sistema é invariante no tempo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: “O sistema discreto
y[n] ;=; sumk=n-n0^n+n0 x[k]
é invariante no tempo?”
Conteúdo envolvido: Análise de Sinais e Sistemas (propriedade de Invariância no Tempo).
O que vamos precisar:
  • Entender o que significa um sistema ser invariante no tempo;
  • Aplicar o teste de deslocamento (shift) na entrada e ver se a saída desloca do mesmo jeito.

Passo 2

Teoria da Invariância no Tempo
Um sistema y1[n] = Tx1[n] = y[n - n1] é invariante no tempo se, para toda entrada e qualquer deslocamento inteiro , valer:
  1. A saída original é .
  2. Se definir , então a saída correspondente deve ser
Ou seja, deslocar a entrada em desloca a saída em , sem mudar formato.

Passo 3

Aplicando ao nosso sistema
  1. Para a entrada genérica y[n] ;=; sumk=n-n0^n+n0 x[k] , temos x1[n] = x[n - n1]
  2. Agora consideramos a entrada deslocada: y1[n] = sumk=n-n0^n+n0 x1[k] = sumk=n-n0^n+n0 x[k - n1] A saída do sistema para y1[n] = summ=(n-n0)-n1^(n+n0)-n1 x[m] = summ=(n-n1)-n0^(n-n1)+n0 x[m] = y[n - n1] é
  3. Fazemos a troca de variável .
    Quando , então .
    Quando , então .
    Logo
Isso mostra direitinho que a saída com entrada deslocada é exatamente a saída original deslocada em .

Resposta

Sim, o sistema
y[n] = sumk=n-n0^n+n0 x[k]
é invariante no tempo.

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