UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Considere o sistema discreto com entrada x[n] e saída y[n] relacionadas por
y[n]=sumk=n-n0^n+n0 x[k],
em que n0 é um número inteiro.
Se x[n] é limitado por um inteiro B (i.e., |x[n]| para todo n ), pode ser mostrado que y[n] é limitado por um inteiro C. Logo, o sistema é estável. Expresse C em função de B e n0.

Passo 1

Beleza, temos um sistema discreto cujo enunciado diz que a saída é
y[n] ;=; sumk=n - n0^n + n0 x[k],,
onde n0 é um inteiro fixo. Sabemos que a entrada x[n] é limitada, ou seja |x[n]| < B para todo n, e queremos mostrar que a saída também fica limitada por alguma constante C. Em suma, a matéria aqui é estabilidade de sistemas lineares discretos (condição BIBO) e vamos precisar usar desigualdade triangular e contagem de termos de uma soma.

Passo 2

Vamos começar pegando o valor absoluto de y[n]. A ideia é usar a desigualdade triangular, que diz que
|,sumk ak| ;<=; sumk |ak|,
Aplicando isso em y[n] dá:
|y[n]| = |sumk=n-n0^n+n0 x[k]| <= sumk=n-n0^n+n0 |x[k]|

Passo 3

Como |x[k]| para todo k, cada termo da soma vale no máximo B. Logo
sumk=n-n0^n+n0 |x[k]| ;<=; sumk=n-n0^n+n0 B
E somar B várias vezes é simplesmente multiplicar B pelo número de termos.

Passo 4

Agora a gente conta quantos termos tem na soma de k=n-n0 até k=n+n0. A diferença entre os índices é
(n+n0) - (n-n0) = 2,n0,
mas como a soma é inclusiva, o total de termos é 2n0+1. Então
$$
\sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} B = (2n_{0}+1),B.
$$

Resposta

Logo, temos
|y[n]| <= (2,n0 + 1),B
e, portanto, pode-se escolher
C = (2,n0 + 1),B
como o limite da saída.

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