UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Considere o sistema discreto com entrada x[n] e saída y[n] relacionadas por
y[n]=sumk=n-n0^n+n0 x[k],
em que n0 é um número inteiro.
Este sistema é linear?

Passo 1

O exercício pergunta se o sistema discreto
y[n]=sumk=n-n0^,n+n0 x[k]
é linear. Isso faz parte de Análise de Sinais e Sistemas, mais especificamente da definição de sistema linear. Para resolver, a gente vai usar os conceitos de aditividade e homogeneidade (ou seja, superposição).

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de linearidade: um sistema Ta,x1[n] + b,x2[n] ;=; a,Tx1[n] ;+; b,Tx2[n] é linear se, para quaisquer sinais , e escalares , , vale
Isso junta duas propriedades:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Agora aplica isso ao nosso sistema x[n]=a,x1[n]+b,x2[n], .
Se a entrada for
y[n] =sumk=n-n0^n+n0l(a,x1[k]+b,x2[k]r)
a saída será
sumk=n-n0^n+n0l(a,x1[k]+b,x2[k]r) = asumk=n-n0^n+n0x1[k] + bsumk=n-n0^n+n0x2[k]
Pela propriedade distributiva da soma:
y[n] = a,Tx1[n] + b,Tx2[n]
Mas cada uma dessas somas é justamente e . Logo
Isso mostra aditividade e homogeneidade juntas, ou seja, superposição!

Resposta

O sistema é linear.

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